2近畿大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 円の中心を $O=(2,0)$ とする。直線 $\ell$ を $$kx-y+6k+14=0$$ と書くと、$O$ から $\ell$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|8k+14|}{\sqrt{k^2+1}}.$$ 円と直線が異なる2点で交わる条件はこの距離が半径2より小さいことだから $$(8k+14)^2<4(k^2+1)\quad\text{すなわち}\quad 15k^2+56k+48<0.$$ 左辺の根は $-12/5,-4/3$ であるから、$-12/5<k<-4/3$。

(2) 弦 $PQ$ の中点 $M$ への中心からの線分 $OM$ は弦に垂直である。直線 $\ell$ の方向ベクトルは $(1,k)$ なので $$(X-2)+kY=0,\qquad X=2-kY.$$ また $M$ は $\ell$ 上にあるから $Y=k(X+6)+14$ である。これらを連立すると $$\displaystyle Y=\frac{8k+14}{k^2+1},\qquad X=2-kY=\frac{-6k^2-14k+2}{k^2+1}.$$ 直線上の関係を $k$ について解けば $$\displaystyle k=\frac{Y-14}{X+6}.$$ ここで $M$ は元の円の内部にあるため $0\le X\le4$ で、分母 $X+6$ は0でない。

(3) 全ての直線 $\ell$ は固定点 $R=(-6,14)$ を通る。また、$M\ne O$ のときは $OM\perp MR$ より $\angle OMR=90^\circ$ である。$\displaystyle k=-\frac74$ のときは $M=O=(2,0)$ となり角は定義されないが、点 $(2,0)$ は以下の円の方程式への代入で同じ円上にあると確認できる。したがって $M$ は直径 $OR$ の円上にあり、その中心は $(-2,7)$、半径は $\sqrt{65}$ である。よって円の方程式は $$(X+2)^2+(Y-7)^2=65.$$

(4) $k=-12/5,-4/3$ は接線の場合に対応し、(1)では端点を含まない。上の $X,Y$ の式に代入すると、端点はそれぞれ $$\displaystyle \left(\frac2{13},-\frac{10}{13}\right),\qquad \left(\frac{18}{5},\frac65\right)$$ となる。したがってグラフは、この2点を端点とする円 $(X+2)^2+(Y-7)^2=65$ の短い弧で、端点は含まない。例えば $k=-2$ のとき $M=(6/5,-2/5)$ となり、この弧上にあることも式に代入して確かめられる。

(4)の軌跡は円の青い短い弧。両端$\displaystyle \left(\frac{2}{13},-\frac{10}{13}\right),\left(\frac{18}{5},\frac65\right)$は白丸で除外、$(2,0)$と$\displaystyle \left(\frac65,-\frac25\right)$は弧上に含む。