近畿大学／2009年度／科一般前期

近畿大学 2009年数学第3問解答・解説

場合の数と確率数列

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1問題

近畿大学2009年度第3問

共通注意：問題は3問です。解答はすべて解答用紙に記入すること。

サイコロの1または2の目が出る事象を $A$ ，3以上の目が出る事象を $B$ とする。

最初は $S=0$ として，次の操作を繰り返し実施する。

操作：偏りのないサイコロを投げて，事象 $A$ が起こると $S$ に1を加え，事象 $B$ が起こると $S$ に2を加える。

このとき，たとえば，事象が $B\to A\to A\to B\to\cdots$ の順で起これば， $S$ の値は $0\to2\to3\to4\to6\to\cdots$ と変化し，この場合には $S=1$ や $S=5$ は起こらない。

操作を繰り返す途中で $S=n$ が起こる確率を $p_n$ とし， $S=n$ が起こらない確率を $q_n=1-p_n$ とする（ただし， $n=1,2,3,\ldots$ ）。たとえば， $S=1$ が起こるのは操作1回目に事象 $A$ が起こるときだけであるから $\displaystyle p_1=\frac{1}{3}$ であり， $S=1$ が起こらないのは操作1回目に事象 $B$ が起こるときだけであるから $\displaystyle q_1=\frac{2}{3}=1-p_1$ である。

(1) $S=2$ が起こる確率 $p_2$ の値，および， $S=3$ が起こる確率 $p_3$ の値を求めよ。

(2) $S=n$ が起こる場合として，直前に事象 $A$ が起こって $S=n$ になる場合と，直前に事象 $B$ が起こって $S=n$ になる場合がある。このことより， $p_n$ と $p_{n-1},p_{n-2}$ の関係を求めよ。（ $n=3,4,5,\ldots$ ）

(3) $a_n=p_{n+1}-p_n$ （ $n=1,2,3,\ldots$ ）とおいて， $a_n$ を $n$ の式で表せ。さらに， $p_n$ を $n$ の式で表せ。

(4) 途中で $S=3$ とならないで $S=6$ となる確率 $P$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

到達値の直前に起こる増分で漸化式を作り、差を等比数列として解いた。最後は3を避ける経路を段階ごとに数えた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad p_2=\frac79,\quad p_3=\frac{13}{27}.$
$\displaystyle (2)\quad p_n=\frac13p_{n-1}+\frac23p_{n-2}\quad(n\ge3).$
$\displaystyle (3)\quad a_n=\frac49\left(-\frac23\right)^{n-1},\quad p_n=\frac35-\frac4{15}\left(-\frac23\right)^{n-1}.$
$\displaystyle (4)\quad P=\frac{98}{243}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

1回の操作で $S$ が $1$ 増える確率は $1/3$ 、 $2$ 増える確率は $2/3$ である。 $p_0=1$ とする。

(1) $S=2$ となるのは、最初に $B$ が起こる場合、または $A,A$ の順に起こる場合である。よって $\displaystyle p_2=\frac23+\left(\frac13\right)^2=\frac79.$ $S=3$ となる直前は $S=1$ から $B$ が起こるか、 $S=2$ から $A$ が起こるかであるから $\displaystyle p_3=p_1\cdot\frac23+p_2\cdot\frac13=\frac13\cdot\frac23+\frac79\cdot\frac13=\frac{13}{27}.$

(2) $n\ge3$ では、 $S=n$ に初めて到達する直前の値は $n-1$ または $n-2$ である。直前にそれぞれ事象 $A$ または $B$ が起こる二つの場合は互いに排反なので $\displaystyle p_n=\frac13p_{n-1}+\frac23p_{n-2}.$

(3) $a_1=p_2-p_1=7/9-1/3=4/9$ である。また $n\ge2$ で (2) を $p_{n+1}$ に用いると $\displaystyle a_n=p_{n+1}-p_n=\frac13p_n+\frac23p_{n-1}-p_n=-\frac23(p_n-p_{n-1})=-\frac23a_{n-1}.$ したがって $\displaystyle a_n=\frac49\left(-\frac23\right)^{n-1}.$ さらに $\displaystyle p_n=p_1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}a_j$ より、等比数列の和を用いて $\displaystyle p_n=\frac13+\frac49\frac{1-(-2/3)^{n-1}}{1+2/3} =\frac35-\frac4{15}\left(-\frac23\right)^{n-1}.$ $n=1$ を代入しても $p_1=1/3$ となる。

(4) $S=2$ までに $S=3$ となることはなく、 $S=2$ に到達する確率は $p_2=7/9$ である。そこから $S=3$ を避けて $S=4$ に行くには $B$ が必要なので確率は $2/3$ 。 $S=4$ から $S=6$ に到達するには、直ちに $B$ が起きるか、 $A$ の後に $A$ が起きるから確率は $2/3+(1/3)^2=7/9$ である。従って $\displaystyle P=\frac79\cdot\frac23\cdot\frac79=\frac{98}{243}.$

この問題で使う考え方

確率の基本法則
独立な試行
漸化式
等比数列の一般項と和

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