1北里大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 辺 $AB$ の中点が $M$ なので $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b}{2}.$$ $N$ は $OM$ を $1:2$ に内分するから、$ON:NM=1:2$ であり、 $$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac13\overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b}{6}.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{NA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{ON} =\frac56\vec a-\frac16\vec b,$$ よって $\displaystyle \boxed{\text{ア}=\frac56,\ \text{イ}=\frac16}$ である。

(1)(ii) $\overrightarrow{ON}\perp\overrightarrow{NA}$ より内積は $0$ である。$|\vec b|=3|\vec a|$、$\vec a\cdot\vec b=3|\vec a|^2\cos\theta$ を用いると $$\displaystyle 0=\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{NA} =\frac{(\vec a+\vec b)\cdot(5\vec a-\vec b)}{36} =\frac{5|\vec a|^2+4\vec a\cdot\vec b-|\vec b|^2}{36} =\frac{(3\cos\theta-1)|\vec a|^2}{9}.$$ $|\vec a|>0$ だから $\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\frac13}$ である。

(2) 多項定理の係数を計算する。 $$\displaystyle \text{エ}=\frac{6!}{4!2!}\,2^2=15\cdot4=60, \qquad \text{オ}=\frac{6!}{3!2!1!}\,2^2\cdot3=60\cdot12=720.$$

(3) $(x,y)$ は $x^2+y^2\leq4$ を満たすので、内積の不等式から $$|3x+y|=|(3,1)\cdot(x,y)|\leq\sqrt{3^2+1^2}\sqrt{x^2+y^2}\leq2\sqrt{10}.$$ 最大値は $(x,y)$ が $(3,1)$ と同じ向きで、かつ $x^2+y^2=4$ のときに得られる。その点は $$\displaystyle (x,y)=\frac{2}{\sqrt{10}}(3,1)=\left(\frac{3\sqrt{10}}5,\frac{\sqrt{10}}5\right)$$ であり、最大値は $2\sqrt{10}$ である。同様に、最小値はその反対の点 $$\displaystyle (x,y)=\left(-\frac{3\sqrt{10}}5,-\frac{\sqrt{10}}5\right)$$ で得られ、最小値は $-2\sqrt{10}$ である。したがって $$\displaystyle \boxed{\text{カ}=\frac{3\sqrt{10}}5,\ \text{キ}=\frac{\sqrt{10}}5,\ \text{ク}=2\sqrt{10},\ \text{ケ}=-\frac{3\sqrt{10}}5,\ \text{コ}=-\frac{\sqrt{10}}5,\ \text{サ}=-2\sqrt{10}}.$$

(4) 各袋からの取り出しは独立である。色が1種類になるには3個とも白でなければならない。よって $$\displaystyle \text{シ}=\frac24\cdot\frac14\cdot\frac14=\frac1{32}.$$ 色が3種類となるのは、$(A,B,C)=(\text{赤},\text{白},\text{青})$、$(\text{赤},\text{青},\text{白})$、$(\text{白},\text{青},\text{赤})$ の場合である。したがって $$\displaystyle \text{セ}=\frac24\cdot\frac14\cdot\frac14 +\frac24\cdot\frac34\cdot\frac14 +\frac24\cdot\frac34\cdot\frac24 =\frac1{32}+\frac3{32}+\frac6{32}=\frac5{16}.$$ 色が2種類となる確率は、1種類または3種類となる場合の余事象だから $$\displaystyle \text{ス}=1-\frac1{32}-\frac5{16}=\frac{21}{32}.$$

(5) $b_n=a_n-3$ とおくと、$b_1=2$、$b_{n+1}=2b_n$ となる。よって $b_n=2^n$、すなわち $$\text{ソ}:\quad a_n=2^n+3.$$ したがって $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}(2^k+3)=2^{n+1}+3n-2, \qquad \text{タ}:\quad S_8=2^9+24-2=534.$$ 不等式を整理すると $$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666 \quad\text{すなわち}\quad 2^{n+1}>50000.$$ $2^{15}=32768<50000<65536=2^{16}$ であり、$2^{n+1}$ は $n$ とともに増加するから、これを満たす最小の正整数は $n=15$ である。よって $\boxed{\text{チ}=15}$。

検算として、(1)(ii) の内積は $\cos\theta=1/3$ を代入すると $0$ となる。(3) の極値を各点で評価すると $3x+y=\pm2\sqrt{10}$ である。(4) の三確率は $1/32+21/32+5/16=1$ となる。また (5) では $n=14$ のとき $2^{n+1}=32768$ で条件を満たさず、$n=15$ で初めて満たす。