3北里大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>1$ なので $\log x\neq0$ である。商の微分法と $(\log x)'=1/x$ から $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{\dfrac{\log x}{x+1}-\dfrac{\log(x+1)}{x}}{(\log x)^2}\\ &=\frac{x\log x-(x+1)\log(x+1)}{x(x+1)(\log x)^2}. \end{aligned}$$

(2) $x>1$ において $\displaystyle f(x)=\dfrac{\log(x+1)}{\log x}>0$ である。また、$h(t)=t\log t$ とおくと、$t>1$ では $$h'(t)=\log t+1>0$$ だから、$h(t)$ は増加する。よって、$x>1$ ならば $$x\log x<(x+1)\log(x+1).$$ (1)で求めた導関数により、分母 $x(x+1)(\log x)^2$ は正であるから $f'(x)<0$。したがって $f$ は $x>1$ で正かつ減少するので、その逆数 $1/f(x)$ は増加する。 $$\displaystyle \frac1{f(k)}=\frac{\log k}{\log(k+1)}=\log_{k+1}k\qquad(k=2,3,\ldots,9)$$ であるから、$1/f(x)$ の増加性から $$\log_3 2<\log_4 3<\log_5 4<\log_6 5<\log_7 6<\log_8 7<\log_9 8<\log_{10}9$$ を得る。

検算として、(1) の導関数を商の微分の未整理形に戻すと $\displaystyle \dfrac{\log x}{(x+1)(\log x)^2}-\dfrac{\log(x+1)}{x(\log x)^2}$ となり、同じ式である。(2) では $f(x)>0$ と $f'(x)<0$ の両方を確認したので、逆数を取ったときの不等号の向きも正しい。