2北里大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 行列積を順に計算すると $$B^2=\begin{pmatrix} 4\cdot4+(-2)(-2)&4(-2)+(-2)\cdot1\\ (-2)\cdot4+1(-2)&(-2)(-2)+1\cdot1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}20&-10\\-10&5\end{pmatrix},$$ $$AB=\begin{pmatrix}4-4&-2+2\\8-8&-4+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}4-4&8-8\\-2+2&-4+4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

(2) まず $$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&10\\10&20\end{pmatrix}=5A.$$ したがって、正の整数 $n$ に対し $$A^n=5^{n-1}A =\begin{pmatrix}5^{n-1}&2\cdot5^{n-1}\\2\cdot5^{n-1}&4\cdot5^{n-1}\end{pmatrix}.$$ 実際、$n=1$ では成り立ち、$A^n=5^{n-1}A$ とすると $A^{n+1}=A^nA=5^{n-1}A^2=5^nA$ となるので、すべての正整数 $n$ で成り立つ。

(3) $C=A-2B$ とおくと $$C=\begin{pmatrix}-7&6\\6&2\end{pmatrix},\qquad C^2=\begin{pmatrix}85&-30\\-30&40\end{pmatrix}=-5C+50I,$$ ただし $I$ は単位行列である。そこで $$\displaystyle P=\frac{C+10I}{15},\qquad Q=\frac{5I-C}{15}$$ とおくと、$P+Q=I$、$C=5P-10Q$ である。また $C^2=-5C+50I$ を用いて $$\displaystyle P^2=\frac{C^2+20C+100I}{225}=P,\qquad Q^2=\frac{25I-10C+C^2}{225}=Q,$$ $$\displaystyle PQ=QP=\frac{50I-5C-C^2}{225}=O$$ を得る。したがって、$n\geq1$ では積を繰り返すと交差項がすべて $O$ となり、$P^n=P,\ Q^n=Q$ なので $$\displaystyle C^n=5^nP+(-10)^nQ =\frac1{15}\left\{ 5^n\begin{pmatrix}3&6\\6&12\end{pmatrix} +(-10)^n\begin{pmatrix}12&-6\\-6&3\end{pmatrix} \right\}.$$ これが求める $(A-2B)^n$ である。

検算として、(1) の積は直接乗算の各成分と一致し、$AB=BA=O$ である。(2) の式は $n=1,2$ でそれぞれ $A,5A$ を与える。(3) の式は $n=1$ で $C=\begin{pmatrix}-7&6\\6&2\end{pmatrix}$、$n=2$ で $C^2=\begin{pmatrix}85&-30\\-30&40\end{pmatrix}$ を与える。