1山口大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=1$ では $A^1=A=$$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$$ であるから、$a_1=a,\quad b_1=b$ とおけばよい。

ある$\text{自然数 }n$ について $A^n=$$$\begin{pmatrix}a_n&b_n\\b_n&a_n\end{pmatrix}$$ と仮定する。このとき

$A^{n+1}=A^nA=$$$\begin{pmatrix}a_n&b_n\\b_n&a_n\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}aa_n+bb_n&ba_n+ab_n\\ba_n+ab_n&aa_n+bb_n\end{pmatrix}$$.

$a_{n+1}=aa_n+bb_n,\qquad b_{n+1}=ba_n+ab_n$ とおけば、$a_{n+1},b_{n+1}$ は実数であり、$A^{n+1}=$$$\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n+1}\end{pmatrix}$$ となる。よって数学的帰納法により、すべての$\text{自然数 }n$ について所定の形に表せる。

（自然数に 0 を含める場合は、補助的に $A^0=I,\quad a_0=1,\quad b_0=0$ とすればよい。）

(2) 上の漸化式から

$c_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}=(a+b)(a_n+b_n)=(a+b)c_n,\qquad c_1=a+b$,

$d_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=(a-b)(a_n-b_n)=(a-b)d_n,\qquad d_1=a-b$.

したがって、$n\ge1$ について

$c_n=(a+b)^n,\qquad d_n=(a-b)^n$.

自然数に 0 を含める場合には $c_0=d_0=1$ である。

(3) $a_n+b_n=c_n,\quad a_n-b_n=d_n$ の和と差をとると、$n\ge1$ について

$\displaystyle a_n=\frac{c_n+d_n}{2}=\frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2},\qquad b_n=\frac{c_n-d_n}{2}=\frac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2}$.

自然数に 0 を含める場合は $a_0=1,\quad b_0=0$ である。