III慶應義塾大学 2009年 数学 第III問解答・解説

(1)　 初期配置は表が隣り合う二枚の状態である。どの頂点も隣の二枚のうち逆の面が一枚なので、選ばれた硬貨が反転する確率は$1/3$である。表の頂点二つのいずれかを選んで反転すれば表一枚、裏の頂点二つのいずれかを選んで反転すれば表三枚になる。したがって$$\displaystyle p_1=s_1=2\cdot\frac14\cdot\frac13=\frac16,\qquad q_1=1-\frac16-\frac16=\frac23,\qquad r_1=0.$$

(2)　 遷移を直前の状態ごとに数える。表一枚の状態では、その表を選んで反転すると表零枚になる確率が$\displaystyle \frac14\cdot\frac23=\frac16$であり、その表に隣接する裏二枚のいずれかを選んで反転すると隣り合う表二枚になる確率が$\displaystyle 2\cdot\frac14\cdot\frac13=\frac16$である。よって表一枚のままの確率は$2/3$である。表三枚からは表裏を入れ替えて同じ数え上げが成り立ち、表四枚へ$1/6$、隣接二枚へ$1/6$、表三枚のままが$2/3$である。隣接二枚からは表の頂点を反転して表一枚になる確率が$1/6$、裏の頂点を反転して表三枚になる確率が$1/6$であり、同じ状態種に残る確率は$2/3$である。対角二枚ではどの頂点も逆の面の隣接硬貨が二枚ある。表側を反転して表一枚、裏側を反転して表三枚となる確率がそれぞれ$\displaystyle 2\cdot\frac14\cdot\frac23=\frac13$、対角二枚のままの確率も$1/3$である。表零枚と四枚は以後反転しないため、この四状態には戻らない。以上より、行を操作後、列を操作前として$$\displaystyle \begin{pmatrix}p_n\\q_n\\r_n\\s_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac23&\frac16&\frac13&0\\\frac16&\frac23&0&\frac16\\0&0&\frac13&0\\0&\frac16&\frac13&\frac23\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_{n-1}\\q_{n-1}\\r_{n-1}\\s_{n-1}\end{pmatrix}.$$第三行から$\displaystyle r_n=\frac13r_{n-1}$であり、$r_1=0$なので、すべての自然数$n$で$r_n=0$である。

(3)　 第一行と第四行の差を取ると、$$\displaystyle p_n-s_n=\frac23(p_{n-1}-s_{n-1})\qquad(n\geq2).$$また(1)より$p_1-s_1=0$である。よって数学的帰納法により、任意の自然数$n$について$p_n=s_n$である。

(4)　 $r_n=0$、$s_n=p_n$を上の式に代入すると、$$\displaystyle p_n=\frac23p_{n-1}+\frac16q_{n-1},\qquad q_n=\frac13p_{n-1}+\frac23q_{n-1}\qquad(n\geq2).$$ここで$a=(4+\sqrt2)/6$、$b=(4-\sqrt2)/6$とおく。二式にそれぞれ$\sqrt2$、$-\sqrt2$を掛けて加えると、成分ごとの計算により$$\sqrt2p_n+q_n=a(\sqrt2p_{n-1}+q_{n-1}),\qquad -\sqrt2p_n+q_n=b(-\sqrt2p_{n-1}+q_{n-1}).$$実際、第一式の右辺で$p_{n-1}$の係数は$(2\sqrt2+1)/3=a\sqrt2$、$q_{n-1}$の係数は$(\sqrt2+4)/6=a$であり、第二式も同様に確かめられる。(1)から$\sqrt2p_1+q_1=a$、$-\sqrt2p_1+q_1=b$なので、等比数列の一般項より$$\boxed{\sqrt2p_n+q_n=a^n},\qquad\boxed{-\sqrt2p_n+q_n=b^n}.$$二式の差と和を取って$$\displaystyle \boxed{p_n=\frac{a^n-b^n}{2\sqrt2}},\qquad\boxed{q_n=\frac{a^n+b^n}{2}}.$$