6東京大学 2004年 数学 第6問解答・解説

1回ごとに左・中・右の板を選ぶ確率はそれぞれ $1/3$ であり、操作は独立である。

(1) 左の板が黒になるには左を奇数回選び、中と右を偶数回選ぶ必要がある。3回の選択回数 $(n_L,n_M,n_R)$ の可能性は $(3,0,0),(1,2,0),(1,0,2)$ であり、それぞれの選択列の数は $1,3,3$ である。全選択列は $3^3=27$ 通り等確率なので、求める確率は $(1+3+3)/27=7/27$ となる。

(2) 左右の板の黒白だけに注目し、$p_n$ を左右とも白である確率、$q_n$ を左右のちょうど一方だけ黒である確率、$r_n$ を左右とも黒である確率とする。常に $p_n+q_n+r_n=1$ である。左右とも白になるには、前状態が左右とも白で中の板を選ぶか、ちょうど一方だけ黒でその黒い板を選べばよい。したがって $p_{n+1}=(p_n+q_n)/3=(1-r_n)/3$。同様に左右とも黒になるには、前状態がちょうど一方だけ黒で黒い方でない外側の板を選ぶか、左右とも黒で中の板を選べばよいので、$r_{n+1}=(q_n+r_n)/3=(1-p_n)/3$。よって $$\displaystyle p_{n+2}=\frac{1-r_{n+1}}3=\frac{p_n+2}{9}.$$ 初期値は $p_0=1,\ p_1=1/3$。$p_n-1/4$ は2項進むごとに $1/9$ 倍となるから、$p_{2k}=1/4+(3/4)9^{-k}$、$p_{2k+1}=1/4+(1/12)9^{-k}$。これをまとめると $$\displaystyle p_n=\frac14\left(1+2\left(\frac13\right)^n+\left(-\frac13\right)^n\right).$$ 左右が白であれば中央の色は白・黒どちらでもよいので、これが求める確率である。