東京大学 2004年数学第1問解答・解説

二次関数図形と方程式図形の性質

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1問題

東京大学2004年度第1問

xy平面の放物線 y = $x^2$ 上の3点 P, Q, R が次の条件をみたしている。 △PQRは一辺の長さaの正三角形であり，点P, Qを通る直線の傾きは√2である。このとき，aの値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

採用解説: MM-5de33a7d6745-Q1 結論　 a= $\displaystyle \frac{18}{5}$ 　　 $\displaystyle \begin{aligned} &u<v,\quad u+v=\sqrt2,\quad d=v-u>0.\\ &P=\left(\frac{\sqrt2-d}{2},\left(\frac{\sqrt2-d}{2}\right)^2\right),\quad Q=\left(\frac{\sqrt2+d}{2},\left(\frac{\sqrt2+d}{2}\right)^2\right).\\ &\overrightarrow{PQ}=d(1,\sqrt2),\quad |PQ|=\sqrt3d,\quad M=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{2+d^2}{4}\right).\\ &\text{正三角形の頂点 }R\text{ は、辺 }PQ\text{ の中点から垂直方向へ高さだけ移った点だから、}\\ &R=M\pm\frac{\sqrt3d}{2}(-\sqrt2,1).\\ &R_x=\frac{\sqrt2}{2}\mp\frac{\sqrt6d}{2},\quad R_y=\frac12+\frac{d^2}{4}\pm\frac{\sqrt3d}{2}.\\ &R_y=R_x^2\quad\text{より}\quad -\frac54d^2\pm\frac{3\sqrt3}{2}d=0.\quad d>0\text{ より }d=\frac{6\sqrt3}{5}\text{（上側の符号）}.\\ &a=|PQ|=\sqrt3d=\frac{18}{5}. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

二次関数のグラフと頂点
座標による距離
直線の方程式
三角形の性質

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