3東京大学 2004年 数学 第3問解答・解説

円 $C$ の中心を $O$ とし、最初の接点を $x$ 軸の正方向に取る。円板 $D$ の中心を $Q$、その偏角を $\theta$ とすると、$OQ=10-3=7$ である。無滑り条件から円板の回転角は $-7\theta/3$ となる。最初の接点から測った点 $P$ の座標は $$\displaystyle x=7\cos\theta+3\cos\frac{7\theta}{3},\qquad y=7\sin\theta-3\sin\frac{7\theta}{3}.$$ したがって、点 $P$ の原点からの距離 $\rho$ は $$\displaystyle \rho^2=x^2+y^2=58+42\cos\frac{10\theta}{3}.$$ $P$ が再び $C$ の円周上にある条件は $\rho=10$、すなわち $\cos(10\theta/3)=1$ である。最初の正の解は $\theta_1=3\pi/5$。このとき $7\theta_1/3=2\pi-\theta_1$ なので、$P=(10\cos\theta_1,10\sin\theta_1)$ となる。また $0<\theta<\theta_1$ では $\rho^2<100$ である。

点 $P$ の極角を $\alpha$ とする。微分して整理すると $$\displaystyle xy'-yx'=28\left(1-\cos\frac{10\theta}{3}\right)>0\qquad(0<\theta<\theta_1).$$ ここで $\alpha'=(xy'-yx')/\rho^2$ だから極角は始点から終点まで増加する。よって曲線はこの角度範囲で原点から見た動径を一度ずつ通り、原点と曲線で囲まれる面積を扇形の面積の和の極限として $$\displaystyle S_0=\frac12\int_0^{\theta_1}\rho^2\,d\alpha =\frac12\int_0^{\theta_1}(xy'-yx')\,d\theta =14\int_0^{3\pi/5}\left(1-\cos\frac{10\theta}{3}\right)d\theta =\frac{42\pi}{5}$$ と求める。中心角 $3\pi/5$ の半径 $10$ の扇形の面積は $30\pi$ なので、円弧側の部分は $$\displaystyle 30\pi-S_0=30\pi-\frac{42\pi}{5}=\frac{108\pi}{5}.$$ 円 $C$ 全体の面積は $100\pi$ であるから、もう一方は $$\displaystyle 100\pi-\frac{108\pi}{5}=\frac{392\pi}{5}.$$ 答えは $\displaystyle\frac{108\pi}{5},\ \frac{392\pi}{5}$。