1大分大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 点を正の向きに $\theta$ だけ回転する座標変換は $$x'=x\cos\theta-y\sin\theta,\qquad y'=x\sin\theta+y\cos\theta.$$ $\theta=\pi/4$ では $\cos\theta=\sin\theta=1/\sqrt2$ だから $$\displaystyle x'=\frac{x-y}{\sqrt2},\qquad y'=\frac{x+y}{\sqrt2}.$$

(2) 逆変換は $$\displaystyle x=\frac{x'+y'}{\sqrt2},\qquad y=\frac{y'-x'}{\sqrt2}.$$ これを $x^2-y^2=1$ に代入すると $$\displaystyle x^2-y^2 =\frac{(x'+y')^2-(y'-x')^2}{2} =2x'y'=1.$$ したがって回転後の図形の方程式は $2x'y'=1$ である（新しい座標を $(x,y)$ と書き直せば $xy=1/2$）。

(3) $b=\sqrt{a^2-1}>0$ とおくと，直線 $OA$ は $y=(b/a)x$ である。領域は $0\le x\le1$ では直線と $x$ 軸の間，$1\le x\le a$ では直線と上側の双曲線 $y=\sqrt{x^2-1}$ の間にある。後者の範囲で $$\displaystyle \left(\frac ba x\right)^2-(x^2-1) =1-\frac{x^2}{a^2}\ge0 \qquad(1\le x\le a),$$ ゆえに直線が双曲線より上である。したがって $$\displaystyle S=\frac12ab-\int_1^a\sqrt{x^2-1}\,dx.$$ $\displaystyle I=\int_1^a\sqrt{x^2-1}\,dx$ とする。部分積分し，$x^2=(x^2-1)+1$ を用いると $$\displaystyle I=ab-\int_1^a\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\,dx =ab-I-\int_1^a\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}.$$ また $x>1$ で $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) =\frac1{\sqrt{x^2-1}},$$ かつ $x\to1+$ で $\log(x+\sqrt{x^2-1})\to0$ だから $$\displaystyle \int_1^a\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} =\log(a+b).$$ よって $\displaystyle I=\frac12\{ab-\log(a+b)\}$ となり， $$\displaystyle S=\frac12ab-I =\frac12\log(a+b) =\frac12\log\!\left(a+\sqrt{a^2-1}\right).$$