7秋田大学 2023年 数学 第7問解答・解説

(i) 単位円の中心は原点である。直線 $x=\cos\theta$ の右側の円弓部分は、中心角 $2\theta$ の扇形から二等辺三角形を除いた部分なので、その面積は $$\displaystyle \theta-\frac12\sin2\theta=\theta-\sin\theta\cos\theta.$$ 同様に、直線 $x=-\sin\theta$ の左側の円弓部分の中心角は $\pi-2\theta$ で、その面積は $$\displaystyle \frac\pi2-\theta-\frac12\sin2\theta=\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta.$$ 求める部分は円からこの2つの円弓部分を除いたものだから、面積 $S$ は $$\displaystyle S=\pi-\left(\theta-\sin\theta\cos\theta+\frac\pi2-\theta-\sin\theta\cos\theta\right) =\frac\pi2+\sin2\theta.$$ $0\leq2\theta\leq\pi$ で $\sin2\theta\leq1$ となり、等号は $\displaystyle 2\theta=\frac\pi2$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac\pi4$ のときである。最大面積は $\displaystyle \frac\pi2+1$。

(ii) 水平線 $y=y_0$ における円の断面は、$r=\sqrt{1-y_0^2}$ とおくと$a-r\le x\le a+r$ で表される線分である。これと帯 $0\leq x\leq1$ の共通部分の長さは $\displaystyle \min(2r,1)$ 以下である。$\displaystyle a=\frac12$ のときは断面区間が帯の中心に置かれるため、各 $y_0$ でこの上限を達成する。$\displaystyle a\ne\frac12$ なら、例えば $\displaystyle a<\frac12$ のとき $\displaystyle a<r<\frac12$ と選ぶと、長さ $2r<1$ の断面区間が左境界を越え、共通部分の長さは $2r$ より小さい（$\displaystyle a>\frac12$ の場合は $\displaystyle 1-a<r<\frac12$ として右境界を越える）。よって面積は $\displaystyle a=\frac12$ のとき最大となる。

このとき円の中心は $\displaystyle (\frac12,0)$ であり、2つの直線までの距離はともに $\displaystyle \frac12$。各外側の円弓部分は中心角 $\displaystyle 2\arccos(\frac12)=\frac{2\pi}{3}$ の扇形から面積 $\displaystyle \frac12\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{4}$ の三角形を除いたものなので、面積は $\displaystyle \frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}$。従って帯内の最大面積は $$\displaystyle \pi-2\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{4}\right)=\frac\pi3+\frac{\sqrt3}{2}.$$