4筑波大学 2022年 数学 第4問解答・解説

数学確認 $t=\tan^2x\ge0$、$\cos^2x=1/(1+t)$ とすると共有点条件は $$t^2+(1-a)t+4-a=0,\qquad D=(a+5)(a-3).$$ $0<a<3$ では実根がなく、$a=3$ では $(t-1)^2=0$ より $t=1$、すなわち $x=\pm\pi/4$ の2点。$3<a<4$ では根の和 $a-1>0$、積 $4-a>0$ から異なる2根はともに正で、それぞれから $x=\pm\arctan\sqrt t$ の2点が生じる。したがって条件に合うのは $a=3$ のみ。

$a=3$ では $$\displaystyle C_1-C_2=4\cos^2x-(3-\tan^2x)=\frac{(\tan^2x-1)^2}{1+\tan^2x}\ge0.$$ よって交点間の面積は $$\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/4}(4\cos^2x-3+\tan^2x)\,dx =\left[\tan x+\sin2x-2x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =4-\pi.$$