1筑波大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 円 }C_1\text{ は }x^2+y^2=1+t^2\text{ で、}A(1,t)\text{ における半径 }OA=(1,t)\text{ は接線の法線である。したがって} (x-1)+t(y-t)=0,\quad \ell:x+ty=1+t^2.\\ \text{(2) }C_2\text{ は軸が }x=p\text{ で、}x\text{ 軸と接するから }y=k(x-p)^2\ (k\ne0)\text{ と書ける。}A\text{ が }C_2\text{ 上にあることと、その点での接線の傾きが }\ell\text{ の傾き }-1/t\text{ に等しいことから} t=k(1-p)^2,\quad 2k(1-p)=-\frac1t. \text{ }1-p\ne0\text{ なので }k=\frac{t}{(1-p)^2}\text{ を代入して }\frac{2t}{1-p}=-\frac1t\text{、よって }p=1+2t^2\text{、さらに }k=\frac{1}{4t^3}.\\ \text{(3) 接点 }M=(p,0)\text{、また }N=(0,kp^2)\text{ である。}p,k>0\text{ より} [\triangle OMN]=\frac12pkp^2=\frac{(1+2t^2)^3}{8t^3}=\frac18\left(\frac1t+2t\right)^3. \text{相加相乗平均より }\frac1t+2t\ge2\sqrt{2}\text{（等号は }\frac1t=2t\text{、すなわち }t=\frac1{\sqrt2}\text{）。したがって最小値は} \frac18(2\sqrt2)^3=2\sqrt2.$$