3東海大学 2019年 1日目 数学 第3問解答・解説

第3問

空欄の答えは $$\boxed{\text{ア}=3},\quad \boxed{\text{イ}=-1},\quad \boxed{\text{ウ}=0},\quad \boxed{\text{エ}:a>1},\quad \boxed{\text{オ}:a=1},\quad \boxed{\text{カ}:0<a<1},$$ $$\boxed{\text{キ}=-2-\sqrt3},\quad \boxed{\text{ク}=-2+\sqrt3},\quad \boxed{\text{ケ}=1},\quad \boxed{\text{コ}=6\sqrt3-3}$$ である。

agraph{(1)} $f(x)=0$ は $-|x|(|x|-3)=0$ より $|x|=0$ または $|x|=3$。共有点は $x=-3,0,3$ の3個である。

agraph{(2)} $g(x)=a(x+1)$ は、$a$ の値によらず $x=-1$ のとき $y=0$ を通る。したがって固定点は $(-1,0)$。

agraph{(3)} $x\le0$ では $f(x)=-x^2-3x$ なので、共有点の方程式は $$x^2+(a+3)x+a=0.$$ 判別式は $(a+3)^2-4a=a^2+2a+9>0$、2根の和は $-a-3<0$、積は $a>0$。よって異なる2根はともに負で、この範囲に共有点が常に2個ある。

$x\ge0$ では $f(x)=-x^2+3x$ だから、共有点の方程式は $$x^2+(a-3)x+a=0, \qquad D=(a-3)^2-4a=(a-1)(a-9).$$ $0<a<1$ なら $D>0$、根の和 $3-a>0$、積 $a>0$ より、2根とも正で共有点が2個増える。$a=1$ では正の重解 $x=1$ が1つの共有点を与える。$1<a<9$ なら $D<0$ で根がない。$a=9$ の重解は $x=-3$ でこの範囲には含まれず、$a>9$ では実根があっても根の和 $3-a<0$、積 $a>0$ から両根が負となるので、やはり $x\ge0$ の根はない。以上から、共有点が2個なら $a>1$、3個なら $a=1$、4個なら $0<a<1$ である。境界 $x=0$ はどの $a>0$ に対しても共有点でないので重複はない。

agraph{(4)} 接点が生じるのは、(3)の右側の二次方程式が重解となる $a=1$ の場合だけで、その接点は $x=1$。左側の共有点は $$x^2+4x+1=0 \quad\text{したがって}\quad x=-2\pm\sqrt3.$$ したがって小さい順の3座標は $-2-\sqrt3,-2+\sqrt3,1$ である。

この場合の差 $h(x)=f(x)-g(x)$ は $$h(x)=\begin{cases} -x^2-4x-1=3-(x+2)^2,&x\le0,\\ -(x-1)^2,&x\ge0. \end{cases}$$ $r_1=-2-\sqrt3,\ r_2=-2+\sqrt3$ とおくと、$r_1\le x\le r_2$ では $h\ge0$、$r_2\le x\le1$ では $h\le0$。よって2つの有界な領域の面積は $$\displaystyle \int_{r_1}^{r_2}h(x)\,dx =\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-u^2)\,du=4\sqrt3,$$ および $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{r_2}^{0}(-h(x))\,dx+\int_0^1(-h(x))\,dx &=\int_{-2+\sqrt3}^{0}(x^2+4x+1)\,dx+\int_0^1(x-1)^2\,dx\\ &=2\sqrt3-\frac{10}{3}+\frac13=2\sqrt3-3. \end{aligned}$$ 問題文の「囲まれた部分」全体の面積は、この2領域の和であるから $$4\sqrt3+(2\sqrt3-3)=6\sqrt3-3.$$

agraph{検算} $a=1$ のとき右側の共有点方程式は $(x-1)^2=0$ で、$f'(1)=-2+3=1=g'(x)$ より確かに接する。左側の根 $-2\pm\sqrt3$ はともに負で、右側の接点1は正なので、3つの座標の順序も正しい。$a=1$ を (3) の個数条件に当てると2個の左側共有点と1個の右側接点の計3個となる。また各領域で曲線の上下関係を確認して絶対値を外して積分し、いずれの面積も正になる。