1長崎大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 放物線 $C_2$ の式を平方完成すると $$y=x^2-2ax+2a^2=(x-a)^2+a^2$$ となる。したがって頂点は $(a,a^2)$ である。

(2) $C_1$ 上の $x=p$ における接線は、導関数 $y'=2x$ より $$y=2px-p^2$$ である。また、$C_2$ の導関数は $y'=2x-2a$ だから、$x=q$ における接線は $$y=2(q-a)x-q^2+2a^2$$ となる。これらが一致するためには、傾きと切片がそれぞれ等しく、 $$p=q-a,\qquad -p^2=-q^2+2a^2$$ を満たす。$q=p+a$ を第2式に代入して整理すると $2ap=a^2$ である。$a>0$ より $\displaystyle p=\frac{a}{2}$、したがって $\displaystyle q=\frac{3a}{2}$ である。これを接線の式に代入して $$\displaystyle \ell:y=ax-\frac{a^2}{4}$$ を得る。実際、 $$\displaystyle C_1-\ell=\left(x-\frac a2\right)^2,\qquad C_2-\ell=\left(x-\frac{3a}{2}\right)^2$$ となり、それぞれ指定された点で接する。

(3) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $$x^2=x^2-2ax+2a^2\quad\text{すなわち}\quad x=a$$ である。$a>0$ から $\displaystyle \frac a2<a<\frac{3a}{2}$ である。囲まれた図形は、$\displaystyle x=\frac a2$ から $x=a$ では $C_1$ と $\ell$ の間、$x=a$ から $\displaystyle x=\frac{3a}{2}$ では $C_2$ と $\ell$ の間にある。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_{a/2}^{a}\left(x^2-ax+\frac{a^2}{4}\right)\,dx +\int_{a}^{3a/2}\left(x^2-3ax+\frac{9a^2}{4}\right)\,dx\\ &=\int_{a/2}^{a}\left(x-\frac a2\right)^2\,dx +\int_{a}^{3a/2}\left(x-\frac{3a}{2}\right)^2\,dx\\ &=\frac{(a/2)^3}{3}+\frac{(a/2)^3}{3} =\frac{a^3}{12}. \end{aligned}$$

(4) $C_1$ の $\displaystyle x=-\frac a2$ における接線の傾きは $\displaystyle 2(-\frac a2)=-a$ であるから、 $$\displaystyle m:y-\frac{a^2}{4}=-a\left(x+\frac a2\right),\qquad m:y=-ax-\frac{a^2}{4}$$ である。これと $\ell$ の式を連立すると $$\displaystyle ax-\frac{a^2}{4}=-ax-\frac{a^2}{4}$$ より $2ax=0$ である。$a>0$ より交点の $x$ 座標は $0$ となる。

(5) 次の差の平方表示から、囲まれた図形は $\displaystyle x=-\frac a2$ から $0$ では $C_1$ と $m$ の間、$0$ から $\displaystyle x=\frac a2$ では $C_1$ と $\ell$ の間にある。 $$\displaystyle C_1-m=\left(x+\frac a2\right)^2,\qquad C_1-\ell=\left(x-\frac a2\right)^2$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_2 &=\int_{-a/2}^{0}\left(x+\frac a2\right)^2\,dx +\int_{0}^{a/2}\left(x-\frac a2\right)^2\,dx\\ &=\frac{(a/2)^3}{3}+\frac{(a/2)^3}{3} =\frac{a^3}{12}. \end{aligned}$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{a^3/12}{a^3/12}=1.$$