3長崎大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 放物線上の点は $P=(p,p^2)$、$Q=(q,q^2)$ である。$p<q$ だから、 $$\displaystyle a=\frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q.$$

(2) 傾き $a=1$ より $\tan\theta_1=1$ である。$0<\theta_1<\pi$ の範囲でこれを満たすのは $$\displaystyle \boxed{\theta_1=\frac{\pi}{4}}$$ である。

(3) $p+q=1$ とし、$d=q-p>0$ とおくと $$\displaystyle p=\frac{1-d}{2},\qquad q=\frac{1+d}{2},\qquad \overrightarrow{PQ}=(d,d).$$ 正三角形の第3頂点は、$\overrightarrow{PQ}$ を $60^\circ$ 回転して点 $P$ から移した点である。反時計回りに回すとその $x$ 成分は $d(1-\sqrt3)/2<0$、時計回りなら $d(1+\sqrt3)/2>0$ となる。条件 $r<p$ より、$R$ は反時計回りの頂点である。したがって $$\displaystyle r=p+td,\qquad r^2=p^2+ud, \quad t=\frac{1-\sqrt3}{2},\quad u=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$ $R$ が $y=x^2$ 上にあるので、$r^2=(p+td)^2$ を使う。$d>0$ で割り、$2p=1-d$ を代入すると $$2pt+t^2d=u,\qquad t+d(t^2-t)=u.$$ ここで $t^2-t=1/2$、$u-t=\sqrt3$ だから $d=2\sqrt3$。よって $$\displaystyle p=\frac12-\sqrt3,\qquad q=\frac12+\sqrt3,\qquad r=-\frac52.$$ 放物線上の2点の弦の傾きはそれらの $x$ 座標の和だから $$m_{PR}=p+r=-2-\sqrt3,\qquad m_{QR}=q+r=\sqrt3-2.$$ $\tan(7\pi/12)=-2-\sqrt3$ であり、$0<\theta_2<\pi$ より $$\displaystyle \boxed{\theta_2=\frac{7\pi}{12}}.$$ また $PQ=\sqrt{d^2+d^2}=2\sqrt6$ なので、正三角形の面積は $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt3}{4}(2\sqrt6)^2=6\sqrt3}.$$

(4) $a=2$ より $p+q=2$。直角条件は $\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{SQ}=0$ である。$S=(1,1)$ だから $$\overrightarrow{SP}=(p-1,p^2-1)=(p-1)(1,p+1),$$ 同様に $\overrightarrow{SQ}=(q-1)(1,q+1)$ であり、 $$\overrightarrow{SP}\cdot\overrightarrow{SQ} =(p-1)(q-1)\{1+(p+1)(q+1)\} =(p-1)(q-1)(pq+4).$$ $p=1$ または $q=1$ なら $p+q=2$ より $p=q=1$ となり $p<q$ に反する。したがって $pq=-4$ で、$p,q$ は $x^2-2x-4=0$ の解である。順序条件から $$p=1-\sqrt5,\qquad q=1+\sqrt5.$$ このとき $$SP^2=50-20\sqrt5,\qquad SQ^2=50+20\sqrt5,$$ よって $SP\cdot SQ=\sqrt{2500-2000}=10\sqrt5$。三角形の面積は $$\displaystyle \boxed{\frac12 SP\cdot SQ=5\sqrt5}.$$