6筑波大学 2012年 数学 第6問解答・解説

(1) 点 $P(s,t)$ は双曲線 $H$ 上にあるので $s^2-t^2=-1$ である。一方、点 $P$ が直線 $\ell:sx-ty=1$ 上にあるなら左辺は $s^2-t^2$ となるが、これは $-1$ であり $1$ ではない。したがって $P$ は直線 $\ell$ 上にない。

(2) $t^2-s^2=1$ なので $t\ne0$。直線の式から $y=(sx-1)/t$ と表し、双曲線 $C$ に代入する。 $$\displaystyle x^2-\left(\frac{sx-1}{t}\right)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad x^2+2sx-(t^2+1)=0.$$ この二次方程式の判別式は $$\Delta=4s^2+4(t^2+1)=4(s^2+t^2+1)=8t^2>0,$$ 最後の等号では $t^2-s^2=1$ を用いた。よって直線は $C$ と異なる2点 $Q,R$ で交わる。根と係数の関係から $x_Q+x_R=-2s$ であり、直線の式から $$\displaystyle y_Q+y_R=\frac{s(x_Q+x_R)-2}{t}=-\frac{2(s^2+1)}{t}=-2t,$$ ここで $s^2+1=t^2$ を使った。従って重心は $$\displaystyle G=\left(\frac{s+x_Q+x_R}{3},\frac{t+y_Q+y_R}{3}\right)=\left(-\frac{s}{3},-\frac{t}{3}\right).$$

(3) 二つの根の差は $|x_Q-x_R|=2\sqrt2|t|$。直線上では $y=(sx-1)/t$ だから $|y_Q-y_R|=(|s|/|t|)|x_Q-x_R|$。よって $$QR^2=(x_Q-x_R)^2+(y_Q-y_R)^2=8(s^2+t^2),\qquad QR=2\sqrt2\sqrt{s^2+t^2}.$$ 直線 $\ell$ を $sx-ty-1=0$ とすると、$G$ から $\ell$ までの距離は $$\displaystyle d(G,\ell)=\frac{|s(-s/3)-t(-t/3)-1|}{\sqrt{s^2+t^2}} =\frac{|(t^2-s^2)/3-1|}{\sqrt{s^2+t^2}} =\frac{2}{3\sqrt{s^2+t^2}}.$$ したがって $$\displaystyle [\triangle GQR]=\frac12 QR\,d(G,\ell) =\frac12\left(2\sqrt2\sqrt{s^2+t^2}\right)\frac{2}{3\sqrt{s^2+t^2}} =\frac{2\sqrt2}{3},$$ これは $P(s,t)$ の位置によらず一定である。