2東京慈恵会医科大学 2011年 数学 第2問解答・解説

第2問

$P=(u,0),\ Q=(0,v)$ とおく。$PQ=1$ より $$u^2+v^2=1.$$ $PM:MQ=t:(1-t)$ とする内分点を $M=(x,y)$ とすると、内分点の公式より $$(x,y)=((1-t)u,tv).$$

(1)

$u=x/(1-t),\ v=y/t$ であり、$0<t<1$ だから分母は0でない。これを $u^2+v^2=1$ に代入して $$\displaystyle \boxed{C:\ \frac{x^2}{(1-t)^2}+\frac{y^2}{t^2}=1}.$$ 逆にこの式を満たす任意の $(x,y)$ に対し $u=x/(1-t),v=y/t$ とおけば $u^2+v^2=1$ となるので、これは軌跡の 必要十分条件である。

(2)(i)

楕円の半径を $a=1-t,\ b=t$ と書く。$A=(x_0,y_0)$ で $x_0=-\sqrt3/3,\ y_0=\sqrt2/3$ である。もし直線 $x=-\sqrt3/3$ が楕円の接線なら、楕円の垂直接線は $x=\pm a$ なので、$x_0<0$ より $a=\sqrt3/3$、すなわち $t=1-\sqrt3/3$ である。この垂直線と直交する直線は水平である。 楕円の水平接線は $y=\pm b$ だから、点 $A$ を通る水平接線があるなら $y_0>0$ より $t=b=\sqrt2/3$ でなければならない。 しかし $1-\sqrt3/3\ne\sqrt2/3$（等しいと仮定して整理・平方すると $\sqrt3=5/3$ となる）ので、条件を満たす2接線の一方が指定の垂直線と なることはない。

(2)(ii)

傾きが有限の直線 $y=mx+c$ が楕円 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ に接するための条件は、代入して得る$x$の二次方程式の 判別式が0となることであり、 $$c^2=a^2m^2+b^2$$ である。点 $A$ を通るとき $c=y_0-mx_0$ だから、接線の傾き $m$ は $$(x_0^2-a^2)m^2-2x_0y_0m+(y_0^2-b^2)=0$$ を満たす。$(2)(i)$ より、直交する2接線はいずれも垂直ではないから、 その傾きを $m_1,m_2$ とできる。係数と解と係数の関係から $$\displaystyle m_1m_2=\frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}.$$ 直交条件 $m_1m_2=-1$ は $$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$$ と同値である。ここで $$\displaystyle x_0^2+y_0^2=\frac13+\frac29=\frac59,\qquad a^2+b^2=(1-t)^2+t^2.$$ よって $$\displaystyle (1-t)^2+t^2=\frac59 \quad\text{すなわち}\quad 9t^2-9t+2=0 \quad\text{すなわち}\quad (3t-1)(3t-2)=0.$$ 従って候補は $t=1/3,2/3$ である。これらでは $x_0^2-a^2$ はそれぞれ $-1/9,\,2/9$ で0ではない。また傾き方程式の 判別式はそれぞれ $28/81,\,40/81$ と正なので、各場合に異なる実数傾きの 接線が2本存在し、その積が $-1$ である。従って両方とも条件を満たす。 $$\displaystyle \boxed{t=\frac13,\ \frac23}.$$

自己検算

・ 内分比が $PM:MQ=t:(1-t)$ なので $M=(1-t)P+tQ$ となり、軌跡式の 係数は $x$ に $(1-t)^2$、$y$ に $t^2$ が対応する。

・ 得られた $t$ はともに $0<t<1$ を満たす。対応する楕円で点 $A$ は 外部にあり、実際に接線傾きの判別式も正である。

・ $t=1/3$ では傾き方程式は $-m^2+2\sqrt6\,m+1=0$（分母を払った形）で 根の積は $-1$。$t=2/3$ では $2m^2+2\sqrt6\,m-2=0$ で同じく根の積は $-1$。いずれも交わる接線は直交する。