2大分大学 2010年 数学 第2問解答・解説

球Gの方程式は$X^2+Y^2+(Z-1)^2=1$である。まず$a\ne0$とし、$xy$平面上の点を$R=(x,y,0)$とおく。直線$PR$は $$(X,Y,Z)=(tx,-2+t(y+2),a(1-t)) \qquad \text{（$t$ は実数）}$$ と表される。これを球の方程式に代入して整理すると、 $$\bigl(x^2+(y+2)^2+a^2\bigr)t^2-2\bigl(2(y+2)+a(a-1)\bigr)t+(a-1)^2+3=0$$ を得る。ここで二次の係数は正であるから、直線$PR$が球と共有点をもつ条件は、この二次方程式の判別式$\Delta$が$0$以上となることである。したがってその外形は$\Delta=0$、すなわち $$\bigl(2(y+2)+a(a-1)\bigr)^2-\bigl((a-1)^2+3\bigr)\bigl(x^2+(y+2)^2+a^2\bigr)=0$$ で表される。展開して整理すると $$(a^2-2a+4)x^2+a(a-2)y^2-4ay-a^2=0$$ となる。

ただし$a=0$では$P=(0,-2,0)$が$xy$平面上にあるので別に考える。球と$xy$平面との共有点は$O=(0,0,0)$だけであるから、$P,O$を通る直線は$xy$平面内にあり、平面との交点全体は直線$x=0$となる。他の条件を満たす直線は平面と$P$で交わり、この点も$x=0$上にある。よってこの場合の外形も$x=0$であり、上の方程式も$4x^2=0$、すなわち同じ直線を表す。

$a\ne0,2$では、上の式を平方完成して $$\displaystyle (a^2-2a+4)x^2+a(a-2)\left(y-\frac{2}{a-2}\right)^2=\frac{a(a^2-2a+4)}{a-2}$$ と書ける。$a^2-2a+4=(a-1)^2+3>0$である。$a<0$または$a>2$では二次の係数と右辺がともに正なので楕円となる。$0<a<2$では$y$の二次の係数と右辺がともに負で$x$の二次の係数は正なので双曲線となる。$a=0$では直線$x=0$に退化し、$a=2$では方程式が$x^2=2y+1$となるので放物線である。

固定取得manifestの同一相対PDFパス・実PDF SHA一致（line 766、大分大2010医前期）。PDF p.3と旧解説を照合。旧solution_latexに文字列 が数式の前後に残っていたため、実改行に修正した。