II日本医科大学 2023年 数学 第II問解答・解説

問1で、2つの球面の方程式を展開すると $$S_1:\ x^2+y^2+z^2-4z+3=0,\qquad S_2:\ x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+9=0.$$ 共通点では両式の差が0なので、交わり $E$ を含む平面は $$\pi:\ x+2y+z=3.$$

問2では $xy$ 平面上で $z=0$ とすれば $$\ell:\ x+2y=3.$$ 問3でこれを $y$ 軸に関して対称移動するには $x$ を $-x$ に置き換えるので $$m:\ -x+2y=3.$$

問4で、$\ell$ と $m$ の交点は $A=(0,3/2,0)$、$m$ と $x$ 軸の交点は $B=(-3,0,0)$、$\ell$ と $x$ 軸の交点は $C=(3,0,0)$。従って $BC=6$、点 $A$ から $BC$ までの高さは $3/2$ であり、底面積は $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot6\cdot\frac32=\frac92.$$

$P=(x,y,z)\text{ を }E\text{ 上の点}$ とする。$P\text{ が平面 }\pi\text{ 上にあること}$ より $x=3-2y-z$。これを $S_1$ に代入すると $$(3-2y-z)^2+y^2+(z-2)^2=1,$$ すなわち $y$ について $$5y^2+(4z-12)y+2z^2-10z+12=0. \tag{1}$$ この二次方程式が実数解をもつため、その判別式は0以上である。従って $$(4z-12)^2-20(2z^2-10z+12)\ge0,$$ $$-8(3z^2-13z+12)=-8(3z-4)(z-3)\ge0.$$ よって $4/3\le z\le3$。また $P$ が $xy$ 平面上にないので、四面体の高さは $|z|=z$ であり、体積は $$\displaystyle V=\frac13[ABC]z=\frac32z\ge2.$$ 下限 $z=4/3$ では(1)の判別式が0となり、重解 $$\displaystyle y=-\frac{4z-12}{10}=\frac23$$ を得る。平面の式から $x=3-2y-z=1/3$。この点は $S_1$ 上にあり、かつ $\pi$ 上にある。2球面の方程式の差は $-2(x+2y+z-3)=0$ なので、$\pi$ 上で $S_1$ の点は同時に $S_2$ 上にもある。実際、$P=(1/3,2/3,4/3)$ を代入すると $S_1$ の左辺は $1/9+4/9+4/9=1$、$S_2$ の左辺は $4/9+16/9+25/9=5$。したがって最小値は達成され、$\displaystyle V_{\min}=2$ である。