IV日本医科大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

問1で $C:y=x^2$ の $P(t,t^2,0)$ における接線の傾きは $2t$ だから $$\ell:\ y-t^2=2t(x-t),\qquad y=2tx-t^2.$$ $x=1$ とすると $Q=(1,2t-t^2,0)$。従って $\text{ア}=2t-t^2$。

問2で点 $(a,b,0)$ が線分 $PQ$ 上にあるためには、接線上にあるので $$b=2at-t^2.$$ これを $t$ について解くと $t=a\pm\sqrt{a^2-b}$。線分 $PQ$ では $t\le a$ であり、条件 $0<b\le a^2$ のもとで $0<t<1$ を満たす解は $$t_{a,b}=a-\sqrt{a^2-b}.$$

問3で固定した $0<a<1$ に対し、三角形を通過する点のうち $x=a$ にあるものを考える。各三角形は $x$ 座標が $t$ から1までの範囲にあるため $t\le a$ が必要である。辺 $PQ$ 上の点は $z=0$、$y=2at-t^2$。同じ $x=a$ で辺 $RQ$ と交わる点は、線分 $RQ$ を $R$ から $Q$ へ $\lambda=(a-t)/(1-t)$ だけ進んだ点であり、 $$y=t^2+2t(a-t)=2at-t^2,\qquad z=(1-\lambda)(t-t^2)=t(1-a).$$ 従ってこの三角形の断面は、$y=2at-t^2$ を保ったまま $0\le z\le t(1-a)$ を動く線分である。$0<t\le a$ のとき $y=a^2-(a-t)^2$ は $0<y\le a^2$ を動き、逆に $t=a-\sqrt{a^2-y}$。従って断面の上端は $$z=t(1-a)=(1-a)(a-\sqrt{a^2-y}).$$ $y=0,z=0$ の点は付け加えた線分 $OA$ に含まれる。端の $a=0,1$ でも、追加した $OA$ と $B$ により同じ不等式表示となる。よって $$K(a):\quad x=a,\quad 0\le y\le a^2,\quad 0\le z\le(1-a)(a-\sqrt{a^2-y}).$$

問4で断面積を $y$ について積分すると $$\displaystyle S(a)=(1-a)\int_0^{a^2}(a-\sqrt{a^2-y})\,dy =(1-a)\left(a^3-\frac23a^3\right) =\frac{a^3(1-a)}3.$$ ここで $u=a^2-y$ と置けば $\displaystyle \int_0^{a^2}\sqrt{a^2-y}\,dy=\int_0^{a^2}\sqrt u\,du=2a^3/3$。

問5で断面積を $x=a$ に沿って積分する。追加した線分と点は体積に寄与しないため $$\displaystyle V=\int_0^1S(a)\,da=\frac13\int_0^1(a^3-a^4)\,da =\frac13\left(\frac14-\frac15\right)=\frac1{60}.$$