3大阪大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $x=s+t$、$y=st$ とすると、$s,t$ は方程式 $$u^2-xu+y=0$$ の2つの実数解である。したがって判別式は $x^2-4y\geq0$ でなければならない。(2,$\sqrt2$) については $$x^2-4y=4-4\sqrt2<0$$ となるため、実数 $s,t$ は存在しない。よって $(2,\sqrt2)$ は $A$ の点ではない。

(2) $A$ の点 $(x,y)=(s+t,st)$ について $$x^2-4y=(s+t)^2-4st=(s-t)^2\geq0, \qquad x^2-2y=(s+t)^2-2st=s^2+t^2\leq6.$$ 逆に、$x^2-4y\geq0$ なら $u^2-xu+y=0$ は実数解 $s,t$ をもち、その解は $s+t=x,\ st=y$ を満たす。さらに $x^2-2y\leq6$ なら $s^2+t^2\leq6$ だから、この $(x,y)$ は $A$ に属する。よって $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\{(x,y):x^2-4y\geq0,\ x^2-2y\leq6\}\\ &=\left\{(x,y):\frac{x^2-6}{2}\leq y\leq\frac{x^2}{4}\right\}. \end{aligned}$$ 上下の境界が交わるのは $$\displaystyle \frac{x^2-6}{2}=\frac{x^2}{4}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2=12,$$ すなわち $x=\pm2\sqrt3$、$y=3$ の点である。したがって図は、$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}-3$ を下側、$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$ を上側とし、$-2\sqrt3\leq x\leq2\sqrt3$ の範囲でその間を塗った領域である。下側の頂点は $(0,-3)$、上側の頂点は $(0,0)$ である。

(3) 下側と上側の境界を $$\displaystyle L(x)=\frac{x^2}{2}-3,\qquad U(x)=\frac{x^2}{4}$$ とおく。$A$ は $x$ 軸について左右対称なので、$x\geq0$ の断面積を積分して2倍する。$0\leq x\leq\sqrt6$ では縦の区間 $[L(x),U(x)]$ が $x$ 軸をまたぎ、回転後の断面は半径 $\displaystyle \max\{-L(x),U(x)\}$ の円板となる。両半径が等しいのは $$\displaystyle 3-\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{4}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x=2 \qquad (x\geq0)$$ である。$\sqrt6\leq x\leq2\sqrt3$ では $0\leq L(x)\leq U(x)$ なので、断面は外半径 $U(x)$、内半径 $L(x)$ の円環となる。以上より $$\displaystyle \begin{aligned} V=2\pi\Bigg[&\int_0^2\left(3-\frac{x^2}{2}\right)^2dx +\int_2^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx -\int_{\sqrt6}^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{2}-3\right)^2dx\Bigg]. \end{aligned}$$ 各積分は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^2\left(3-\frac{x^2}{2}\right)^2dx &=\left[9x-x^3+\frac{x^5}{20}\right]_0^2=\frac{58}{5},\\ \int_2^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{4}\right)^2dx &=\left[\frac{x^5}{80}\right]_2^{2\sqrt3}=\frac{18\sqrt3-2}{5},\\ \int_{\sqrt6}^{2\sqrt3}\left(\frac{x^2}{2}-3\right)^2dx &=\left[\frac{x^5}{20}-x^3+9x\right]_{\sqrt6}^{2\sqrt3} =\frac{42\sqrt3-24\sqrt6}{5}. \end{aligned}$$ したがって回転体の体積は $$\displaystyle \boxed{V=\frac{2\pi}{5}\left(56-24\sqrt3+24\sqrt6\right)}.$$ 各断面の円板・円環の半径は領域の上下境界との距離に一致し、積分の区間は $x=2$（外半径の切替え）、$x=\sqrt6$（下側境界が軸を越える点）、$x=2\sqrt3$（領域の端）で分けている。