5大阪大学 2019年 数学 第5問解答・解説

球面$S_1,S_2$の中心をそれぞれ$O_1=(1,1,1), O_2=(2,3,3)$とし、$\boldsymbol n=(1,2,2)$、$\boldsymbol e=\boldsymbol n/3$とおく。　 両球面の方程式を整理すると $$S_1: x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-4=0, \quad S_2: x^2+y^2+z^2-4x-6y-6z+21=0.$$ したがって共通部分$C$を含む平面は、両式の差から $$\displaystyle \Pi: x+2y+2z=\frac{25}{2}$$ である。　 $O_1$から$\Pi$への垂線の足を$P$とする。$\boldsymbol n\cdot O_1=5$、$|\boldsymbol n|=3$より $$\displaystyle P=O_1+\frac{\frac{25}{2}-5}{|\boldsymbol n|^2}\boldsymbol n =O_1+\frac56\boldsymbol n =\left(\frac{11}{6},\frac83,\frac83\right).$$ また$\displaystyle O_1P=\frac52$なので、$C$の半径を$\rho$とすると $$\displaystyle \rho^2=7-\left(\frac52\right)^2=\frac34.$$　 別の球面と$S_1$の方程式の差を取ると、共通部分を含む平面が得られ、その法線は両球面の中心を結ぶ方向である。共通部分は$C$なのでその平面は$\Pi$であり、法線は$\boldsymbol n$に平行である。よって中心$Q$は$P$を通る法線上にあり、$Q=P+t\boldsymbol e$と書ける。点 $X$ が円 $C$ 上にあるなら$XP=\rho$かつ$(X-P)\cdot\boldsymbol e=0$であるから $$\displaystyle XQ^2=XP^2+t^2=\frac34+t^2.$$ したがって候補球面の半径$r$は$\displaystyle r^2=\frac34+t^2$を満たす。　 この候補球面と$S_1$の共通部分の平面を確認する。$\displaystyle h=\frac52$、$Y=X-O_1$とおくと、$Q=O_1+(h+t)\boldsymbol e$である。$X$が両球面上にあるとき、2つの球面の式を引けば $$\displaystyle 2(h+t)Y\cdot\boldsymbol e=7-\left(\frac34+t^2\right)+(h+t)^2=5(h+t).$$ $t\ne-h$なら$Y\cdot\boldsymbol e=h$、すなわち$X$は$\Pi$上にある。候補球面は$C$の全点を含むため、このとき$S_1$との共通部分はちょうど$C$である。$\displaystyle t=-h=-\frac52$では$Q=O_1$、$r=\sqrt7$となって球面が$S_1$そのものになるため除外する。　 (1)　 $\displaystyle r^2=\frac34+t^2\geq\frac34$であり、等号は$t=0$のときに成り立つ。したがって求める球面は $$\displaystyle \left(x-\frac{11}{6}\right)^2+\left(y-\frac83\right)^2+\left(z-\frac83\right)^2=\frac34.$$

(2)　 $r=\sqrt3$とすると$\displaystyle 3=\frac34+t^2$より$\displaystyle t=\pm\frac32$。よって中心は $$\displaystyle P+\frac32\boldsymbol e=\left(\frac73,\frac{11}{3},\frac{11}{3}\right), \qquad P-\frac32\boldsymbol e=\left(\frac43,\frac53,\frac53\right).$$ したがって求める球面は $$\displaystyle \left(x-\frac73\right)^2+\left(y-\frac{11}{3}\right)^2+\left(z-\frac{11}{3}\right)^2=3, \quad \left(x-\frac43\right)^2+\left(y-\frac53\right)^2+\left(z-\frac53\right)^2=3.$$