II鳥取大学 2018年 数学 第II問解答・解説

(1) $\overrightarrow{BC}=(-4,4,8)$ とおき、$H=B+t\overrightarrow{BC}$ とする。$AH\perp BC$ より $$\displaystyle t=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|^2} =\frac{(-6,0,6)\cdot(-4,4,8)}{(-4)^2+4^2+8^2} =\frac{72}{96}=\frac34.$$ したがって $\displaystyle H=(3,-3,-5)+\frac34(-4,4,8)=(0,0,1)$ であり、$\overrightarrow{OH}=(0,0,1)$。

(2) $\overrightarrow{AB}=(6,0,-6)$、$\overrightarrow{AC}=(2,4,2)$ である。平面 $ABC$ に垂直な $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$ は $$6v_1-6v_3=0,\qquad 2v_1+4v_2+2v_3=0$$ を満たすから、$v_3=v_1,\ v_2=-v_1$。さらに $|\vec v|=1$、$v_1>0$ より $\displaystyle \vec v=\frac1{\sqrt3}(1,-1,1)$。

(3) $\overrightarrow{PH}$ は平面 $ABC$ に垂直で、$BC$ はその平面上にあるので $PH\perp BC$。また $|PH|=2$、$|BC|=\sqrt{(-4)^2+4^2+8^2}=4\sqrt6$ である。よって $$\displaystyle [\triangle PBC]=\frac12\cdot4\sqrt6\cdot2=4\sqrt6.$$

(4) 距離としての $d$ は $d\ge0$ である。$H$ は $BC$ 上にあり、$PH\perp BC$ だから $$\displaystyle S=\frac12\cdot4\sqrt6\,d=2\sqrt6d,\qquad S^2=24d^2.$$ $\overrightarrow{AH}=(3,3,0)$ である。まず $|AB|=6\sqrt2$、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=18$ より、$AH$ の $AB$ に垂直な成分の長さの二乗は $$\displaystyle |AH|^2-\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}}{|AB|}\right)^2 =18-\frac{18^2}{72}=\frac{27}{2}.$$ $PH$ は平面 $ABC$ に垂直なのでこの成分とも垂直であり、点 $P$ から直線 $AB$ までの距離の二乗は $\displaystyle \frac{27}{2}+d^2$。したがって $$\displaystyle T^2=\frac{|AB|^2}{4}\left(\frac{27}{2}+d^2\right)=243+18d^2.$$ 同様に $|AC|=2\sqrt6$、$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AH}=18$ だから、$AH$ の $AC$ に垂直な成分の長さの二乗は $$\displaystyle |AH|^2-\left(\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AH}}{|AC|}\right)^2 =18-\frac{18^2}{24}=\frac92.$$ ゆえに $$\displaystyle U^2=\frac{|AC|^2}{4}\left(\frac92+d^2\right)=27+6d^2.$$ 条件 $S^2=T^2-U^2$ に代入すると $$24d^2=(243+18d^2)-(27+6d^2)=216+12d^2,$$ よって $d^2=18$。$d\ge0$ より $d=3\sqrt2$。