2山形大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $E$ は直線 $AD$ 上にある。$\overrightarrow{AD}=(-1,-1,-1)$ より、直線 $AD$ は$$(x,y,z)=(0,3,2)+t(-1,-1,-1)=(-t,3-t,2-t)$$と表せる。$E$ は $xy$ 平面上なので $z=0$、すなわち $2-t=0$ より $t=2$。したがって $E=(-2,1,0)$。

(2) $\overrightarrow{CB}=(-6,3,0)$、$\overrightarrow{CE}=(-5,0,0)$ だから、$$|CB|=3\sqrt5,\quad |CE|=5,\quad \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CE}=30.$$よって $\displaystyle \cos\angle BCE=\frac{30}{(3\sqrt5)5}=\frac2{\sqrt5}$。角は三角形の内角なので正弦は正であり、$$\displaystyle \sin\angle BCE=\sqrt{1-\cos^2\angle BCE}=\frac1{\sqrt5}.$$

(3) 三角形の面積公式より$$\displaystyle [BCE]=\frac12|CB||CE|\sin\angle BCE=\frac12(3\sqrt5)(5)\frac1{\sqrt5}=\frac{15}{2}.$$

(4) $D$ は $A$ と $E$ の中点である（$\displaystyle \frac{A+E}{2}=(-1,2,1)=D$）。したがって四面体 $ABCE$ は、平面 $BCD$ によって四面体 $ABCD$ と $BCDE$ に分かれる。底面を三角形 $BCE$（$z=0$ 上）とすると、頂点 $A,D$ から底面への高さはそれぞれ $2,1$ である。ゆえに$$\displaystyle \begin{aligned}\operatorname{Vol}(ABCD)&=\operatorname{Vol}(ABCE)-\operatorname{Vol}(BCDE)\\&=\frac13[BCE]\cdot2-\frac13[BCE]\cdot1\\&=\frac13\cdot\frac{15}{2}=\frac52.\end{aligned}$$