1熊本大学 2010年 数学 第1問解答・解説

線分 $BC$ を $BP:PC=t:(1-t)$ に内分するので、 $$P=(1-t)B+tC=(1+t,\,2-t,\,2t) \quad (0<t<1)$$ である。

(問1) $OA$ は長さ4の $x$ 軸上の線分である。$P$ から $OA$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$H=(1+t,0,0)$ であり、 $$PH=\sqrt{(2-t)^2+(2t)^2}.$$ したがって、三角形 $OAP$ の面積 $S$ は $$\displaystyle S=\frac12\cdot 4\cdot PH=2\sqrt{(2-t)^2+4t^2}=2\sqrt{5\left(t-\frac25\right)^2+\frac{16}{5}}.$$ よって $S$ は $\displaystyle t=\frac25$ で最小となる。この値は $0<t<1$ を満たすので、最小面積は $$\displaystyle S_{\min}=2\sqrt{\frac{16}{5}}=\frac{8\sqrt5}{5}$$ である。

(問2) 平面 $OAP$ は $\overrightarrow{OA}=(4,0,0)$ と $\overrightarrow{OP}=(1+t,2-t,2t)$ が張る平面である。 $$\boldsymbol n=(0,2t,-(2-t))$$ とおくと、$\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{OA}=0$、$\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{OP}=2t(2-t)-2t(2-t)=0$ であるから、$\boldsymbol n$ はこの平面に垂直である。よって $C$ を通る垂線は $$(x,y,z)=(2,1,2)+s(0,2t,-(2-t))$$ と表せる。$z=0$ とおくと $\displaystyle s=\frac{2}{2-t}$ となり、 $$\displaystyle D=\left(2,\,1+\frac{4t}{2-t},\,0\right).$$

$D$ の $y$ 座標を $q$ とする。$D$ を三角形 $OAB$ の内部に置くため、 $$D=\alpha A+\beta B+(1-\alpha-\beta)O$$ と表したとき、3係数がすべて正であることが必要十分である。$D=(2,q,0)$ より $\displaystyle \beta=\frac q2$、$\displaystyle \alpha=\frac12-\frac q8$、$\displaystyle 1-\alpha-\beta=\frac12-\frac{3q}{8}$ となる。これらがすべて正である条件は $\displaystyle 0<q<\frac43$ である。ここで $\displaystyle q=1+\frac{4t}{2-t}>0$ であり、また $0<t<1$ より $2-t>0$ だから、 $$\displaystyle 1+\frac{4t}{2-t}<\frac43 \text{すなわち} 12t<2-t \text{すなわち} t<\frac{2}{13}.$$ 元の条件 $0<t<1$ と合わせて、求める範囲は $\displaystyle 0<t<\frac{2}{13}$ である。