3熊本大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(問1) $g(t)=\log_4(1+\tan t)$, $\displaystyle u(x)=\frac{\pi}{4}-x$ とおく。積分区間内で被積分関数は連続なので、積分の上端・下端の微分公式から $$\displaystyle f'(x)=g(u(x))u'(x)-g(x)=-\log_4\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)-\log_4(1+\tan x).$$ 加法定理より $$\displaystyle 1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\frac{2}{1+\tan x}$$ である。したがって $$\displaystyle \log_4\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)+\log_4(1+\tan x)=\log_4 2=\frac12,$$ ゆえに $\displaystyle f'(x)=-\frac12$ である（端点での片側微分も同じ値となる）。

(問2) $\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{4}$ で $$\displaystyle g(t)+g\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac12.$$ 置換 $\displaystyle t\mapsto\frac{\pi}{4}-t$ により $$\displaystyle 2f(0)=\int_0^{\pi/4}\left\{g(t)+g\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\right\}\,dt=\int_0^{\pi/4}\frac12\,dt=\frac{\pi}{8}.$$ よって $\displaystyle f(0)=\frac{\pi}{16}$ である。

(問3) (問1)、(問2)より、定義域 $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{8}$ で $$\displaystyle f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)\,dt=\frac{\pi}{16}-\frac{x}{2}.$$ また、このとき $\displaystyle 0\le f(x)\le\frac{\pi}{16}$ なので、数列の各項は $f$ の定義域に入る。漸化式の不動点を $L$ とすると、$\displaystyle L=\frac{\pi}{16}-\frac{L}{2}$ より $\displaystyle L=\frac{\pi}{24}$ である。$\displaystyle b_n=a_n-\frac{\pi}{24}$ とおけば $$\displaystyle b_{n+1}=-\frac12b_n,\qquad b_1=\frac{\pi}{16}-\frac{\pi}{24}=\frac{\pi}{48}.$$ したがって $\displaystyle b_n=\frac{\pi}{48}\left(-\frac12\right)^{n-1}$ であり、 $$\displaystyle a_n=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{48}\left(-\frac12\right)^{n-1}\quad(n=1,2,3,\ldots).$$