1神戸大学 2022年 数学 第1問解答・解説

初項 $a_1=1,a_2=2$ は正で、漸化式から全ての $a_n$ は正である。

(1) $n=1$ では $a_2=2=2/\sqrt{a_1}$。ある $n$ で $a_{n+1}=2/\sqrt{a_n}$ と仮定すると、 $$\displaystyle a_{n+2}^2=a_{n+1}a_n=\frac{4}{a_{n+1}}.$$ $a_{n+2}>0$ より $a_{n+2}=2/\sqrt{a_{n+1}}$。したがって数学的帰納法により、全ての自然数 $n$ で $$\displaystyle \boxed{a_{n+1}=\frac{2}{\sqrt{a_n}}}.$$

(2) $b_n=\log a_n$ とすると (1) より $$\displaystyle b_{n+1}=\log2-\frac12b_n.$$ $\displaystyle c_n=b_n-\frac23\log2$ とおけば $\displaystyle c_{n+1}=-\frac12c_n$、また $\displaystyle c_1=-\frac23\log2$ である。よって $$\displaystyle c_n=-\frac23\left(-\frac12\right)^{n-1}\log2, \qquad \boxed{b_n=\frac23\left(1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right)\log2}.$$

(3) 上式から $\displaystyle b_n\to\frac23\log2$。従って $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=e^{(2/3)\log2}=2^{2/3}=\sqrt[3]{4}}.$$