5神戸大学 2022年 数学 第5問解答・解説

(1) 共通の値を $K=a^x=b^y=(ab)^z$ とおく。$a>1$ かつ $x\ne0$ だから $K\ne1$ であり、$L=\log K$ とおくと $L\ne0$ である。底が正なので対数をとることができ、 $$x\log a=y\log b=z\log(ab)=L$$ を得る。したがって $$\displaystyle \frac1x=\frac{\log a}{L},\qquad \frac1y=\frac{\log b}{L},\qquad \frac1z=\frac{\log(ab)}{L}.$$ $\log(ab)=\log a+\log b$ より $$\displaystyle \frac1x+\frac1y=\frac{\log a+\log b}{L} =\frac{\log(ab)}{L}=\frac1z.$$

(2) $m,n$ は正であり、条件から $$\displaystyle \frac1p=\frac1m+\frac1n>\frac1n$$ なので $n>p$、従って $m>n>p$ である。条件を整理すると $$mn=p(m+n),\qquad (m-p)(n-p)=p^2.$$ ここで $m-p>n-p>0$ である。$p$ は素数なので、正の因数の組で積が $p^2$ となるものは $(1,p^2),(p,p),(p^2,1)$ である。大小関係 $m-p>n-p$ を満たすのは $$m-p=p^2,\qquad n-p=1$$ だけである。よって $$m=p^2+p=p(p+1),\qquad n=p+1.$$ 実際、$\displaystyle \dfrac1{p(p+1)}+\dfrac1{p+1}=\dfrac1p$ となる。

(3) $A=\log a$, $B=\log b$ とおくと $0<A<B$ であり、与式の対数をとって $$mA=nB=p(A+B)$$ を得る。$mA=nB$ と $B>A>0$ から $m/n=B/A>1$、すなわち $m>n$ である。また (1) を $x=m$, $y=n$, $z=p$ に適用すると $$\displaystyle \frac1m+\frac1n=\frac1p.$$ よって (2) から $m=p(p+1)$, $n=p+1$ である。さらに $$nB=p(A+B)$$ より $(n-p)B=pA$ であり、$n-p=1$ だから $B=pA$ となる。従って $$\log b=p\log a,\qquad b=a^p.$$ 検算すると、$m=p(p+1)$, $n=p+1$, $b=a^p$ のとき $$a^m=a^{p(p+1)}=b^n=(ab)^p,$$ となり、もとの等式を満たす。