2鹿児島大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1)(a)　 $m/n=\sqrt{2}$ を満たす自然数の組があると仮定し、そのような組のうち $m+n$ が最小のものを $(m,n)$ とする。両辺を2乗すると $m^2=2n^2$ であるから、$m^2$ は偶数であり、$m$ は偶数である。そこで $m=2r$ とおくと、$n^2=2r^2$ となるので、同様に $n$ も偶数である。$n=2s$ とおけば、$r,s$ は自然数で、$r/s=m/n=\sqrt{2}$ を満たす。しかも $r+s=(m+n)/2<m+n$ であり、$m+n$ の最小性に反する。したがって、そのような自然数 $m,n$ は存在しない。

(1)(b)　 $u=p/q$ とおく。$p,q$ は自然数だから $u>0$ であり、(1)(a)より $u\ne\sqrt{2}$ である。$u<\sqrt{2}$ のとき、正の数 $\sqrt{2}/u$ を両辺に掛けると $\sqrt{2}<2/u$ を得る。よって $p/q<\sqrt{2}<2q/p$ である。$u>\sqrt{2}$ のときも同じ正の数を掛けると $2/u<\sqrt{2}$ となるので、$2q/p<\sqrt{2}<p/q$ である。$2/u=2q/p$ だから、求める二つの場合のいずれかが成り立つ。

(2)　 $\alpha=\log_a x,\ \beta=\log_a y$ とおく。$a>0, a\ne1, x>0, y>0$ より対数が定義され、$x=a^\alpha, y=a^\beta$ である。正の底の指数法則を用いると、$$x^{\log_a y}=(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta}=a^{\beta\alpha}=(a^\beta)^\alpha=y^{\log_a x}.$$したがって、すべての正の実数 $x,y$ に対して等式が成り立つ。