鹿児島大学 2013年数学第4問解答・解説

三角関数積分法数列

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1問題

鹿児島大学2013年度第4問

次の各問いに答えよ。

(1) $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx$ を求めよ。

(2) $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x\sin 3x\,dx$ を求めよ。

(3) $m,n$ を自然数とする。 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx$ を求めよ。

(4) $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum\limits _{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2dx$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad 2\pi\quad$ 。 (2) $\quad 0\quad$ 。 (3) $\quad m=n\quad$ なら $\quad \pi\quad$ 、 $\quad m\ne n\quad$ なら $\quad 0\quad$ 。 (4) $\quad 2013\pi\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad &\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=[-x\cos x+\sin x]_{-\pi}^{\pi}=2\pi.\\[2pt]\text{(2)}\quad &\sin2x\sin3x=\frac12(\cos x-\cos5x),\\&\int_{-\pi}^{\pi}\cos(rx)\,dx=0\quad(r\text{ は0でない整数}),\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\sin3x\,dx=0.\\[2pt]\text{(3)}\quad &\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\,dx=\begin{cases}\pi &(m=n),\\0 &(m\ne n).\end{cases}\\[2pt]\text{(4)}\quad &\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum\limits _{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2dx=\sum\limits _{k=1}^{2013}\pi+2\sum\limits _{1\le k<l\le2013}0=2013\pi.\end{aligned}$

(1)は部分積分して両端で評価する。(2)(3)は積和公式に直し、非零整数周波数の余弦の対称区間積分が0であることを使う。(4)は有限和の平方を展開し、(3)で異なる周波数の交差項が消えるため、対角項の個数だけ残る。

この問題で使う考え方

部分積分
積和公式
直交性による項別評価
有限和の平方展開

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