5鹿児島大学 2013年 数学 第5問解答・解説

5-1. $\Delta\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ とする。 (1) 定義から $\Delta(P)=-2,\ \Delta(Q)=-2$。積を計算すると $$R=PQ=\begin{pmatrix}3&4\\11&16\end{pmatrix},\qquad \Delta(R)=48-44=4=\Delta(P)\Delta(Q).$$ (2) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$ とおく。直接展開して $$\begin{aligned} \Delta(AB)&=(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)\\ &=(ad-bc)(eh-fg)=\Delta(A)\Delta(B). \end{aligned}$$ (3) 実成分のXが $X^2=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ を満たすなら、(2)から $\Delta(X)^2=-1$。実数の平方は負にならないので、そのようなXは存在しない。 (4) $AB=E$ なら $\Delta(A)\Delta(B)=\Delta(E)=1$。A,Bの成分が整数なので行列式も整数である。整数どうしの積が1だから $\Delta(A)=1$ または $-1$。

5-2. 点 $(x,y)$ が焦点 $F(p,0)$ とy軸から等距離である条件は $$(x-p)^2+y^2=x^2,$$ 従って軌跡は $y^2=2px-p^2$。 (2) $P(x_0,y_0)$ 上で $y_0\neq0$ のとき、曲線を微分して接線を求めると $$\displaystyle y-y_0=\frac{p}{y_0}(x-x_0),\qquad x_0=\frac{y_0^2+p^2}{2p}.$$ この接線とx軸の交点を $Q=(x_Q,0)$ とすると $$\displaystyle x_Q=\frac{p^2-y_0^2}{2p}.$$ 従って $$\displaystyle FP^2=(x_0-p)^2+y_0^2 =\frac{(p^2+y_0^2)^2}{4p^2} =FQ^2.$$ FP,FQは距離なので $FP=FQ$。

5-3. 3回の復元抽出の最小値をXとする。$k=0,1,2,3,4$ について $$\displaystyle P(X\geq k)=\left(\frac{5-k}{5}\right)^3$$ であり、値は順に $1,64/125,27/125,8/125,1/125$。差を取ると $$\displaystyle P(X=0,1,2,3,4)=\frac1{125}(61,37,19,7,1).$$ 尾確率和を使うと $$\displaystyle E(X)=\sum\limits _{k=1}^4P(X\geq k)=\frac45.$$ また $$\displaystyle E(X^2)=\frac{37+4\cdot19+9\cdot7+16}{125}=\frac{192}{125}, \qquad V(X)=E(X^2)-E(X)^2=\frac{112}{125}.$$

5-4. 密度の積分が1となる条件から $$\displaystyle k\left(\int_0^a\frac{x}{a}\,dx+\int_a^2\frac{2-x}{2-a}\,dx\right)=k=1.$$ 平均は $$\displaystyle E(X)=\int_0^a\frac{x^2}{a}\,dx+\int_a^2\frac{x(2-x)}{2-a}\,dx =\frac{a^2}{3}+\frac{(2-a)(a+1)}3=\frac{a+2}{3}.$$ 従って旧解答の $2/3$ は誤りである。$F(a)=a/2<1/2$ より中央値uは $u>a$。さらに $$\displaystyle P(X>u)=\int_u^2\frac{2-x}{2-a}\,dx =\frac{(2-u)^2}{2(2-a)}=\frac12.$$ $u<2$ を選ぶと $$u=2-\sqrt{2-a}.$$

5-1では積公式を成分展開で確認し、整数の逆行列条件に適用。5-2では$p>0$、$y_0\ne0$により傾きが定義され、平方距離の一致から正の距離の一致へ移る。5-3では尾確率・差分分布・一次二次モーメントを再計算。5-4では正規化$k=1$、平均の二つの積分を評価して旧$\displaystyle \frac23$の誤りを修正。累積面積$\displaystyle F(a)=\frac a2<\frac12$から中央値の枝を選択。