I慶應義塾大学 2012年 数学 第I問解答・解説

(1) $d_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと、漸化式から $$d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_n-a_{n+1})=-2d_n,\qquad d_1=3.$$ よって $d_n=3(-2)^{n-1}$。したがって $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}d_k=1+3\frac{1-(-2)^{n-1}}{3}=2-(-2)^{n-1}.$$

(2) $\overrightarrow{OB'}=2\overrightarrow{OB}$ より $B'=(2,2)$。$C'=(a,c)$ とおくと、行列の作用から $a+b=2$、$c+d=2$ である。正三角形の条件は $$a^2+c^2=8,\qquad (a-2)^2+(c-2)^2=8.$$ この2式の差から $a+c=2$ を得る。さらに $(a+c)^2=4=a^2+c^2+2ac$ より $ac=-2$。したがって $a,c$ は方程式 $z^2-2z-2=0$ の2根 $1+\sqrt3,1-\sqrt3$ である。両方の順序を取り、$b=2-a$、$d=2-c$ とすると $$A=\begin{pmatrix}1+\sqrt3&1-\sqrt3\\1-\sqrt3&1+\sqrt3\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}1-\sqrt3&1+\sqrt3\\1+\sqrt3&1-\sqrt3\end{pmatrix}.$$ 各場合 $|OB'|^2=|OC'|^2=|B'C'|^2=8$ なので、どちらも条件を満たし、他の可能性はない。

(3) $u=e^t$、$v=e^{-t}$ とおくと $u,v>0$、$uv=1$。媒介式から $$2x=u+3v,\qquad y=u-2v,$$ したがって $v=(2x-y)/5$、$u=(4x+3y)/5$。これらの積が1であることから $$(2x-y)(4x+3y)=25,$$ すなわち $8x^2+2xy-3y^2=25$。よって係数は $8,2,-3$。また $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{u-3v}{2},\qquad \frac{dy}{dt}=u+2v.$$ 接線の傾きが $-2$ となる条件は $2(u+2v)/(u-3v)=-2$、すなわち $v=2u$。$uv=1$ と正値から $u=1/\sqrt2$、よって $\displaystyle t=\ln u=-\frac12\ln2$。このとき $dx/dt\ne0$ であり、確かに傾きは $-2$ である。

(4) $0<x<1$ で $$f'(x)=1-\alpha x^{\alpha-1}.$$ $\alpha>1$ なので $f'(x)=0$ はただ1つの解 $x(\alpha)=\alpha^{-1/(\alpha-1)}$ をもち、$0<x(\alpha)<1$。導関数はこの点より左で正、右で負であり、両端では $f(0)=f(1)=0$ だから、この点で最大となる。 $$\displaystyle \ln x(\alpha)=-\frac{\ln\alpha}{\alpha-1}\longrightarrow-1\quad(\alpha\to1+0),$$ ここで $\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\ln(1+h)/h=\ln'(1)=1$ を用いた。指数関数の連続性から $\displaystyle \lim\limits _{\alpha\to1+0}x(\alpha)=e^{-1}$。