II慶應義塾大学 2012年 数学 第II問解答・解説

各座標は同じ規則で動き、点 $P,Q$ の動きは互いに独立である。1個の座標は1回目の操作後に $\pm1$、2回目の操作後に $0,2,-2$ のいずれかとなり、その確率はそれぞれ $1/2,1/4,1/4$ である。$2$ はその後も $2$ にとどまり、$-2$ は次に $-1$ へ移る。

(1) 2回目の操作後に点 $P$ が $0$ にある確率は $1/2$ であり、3回目にそこから $1$ へ移る確率は $1/2$。したがって $P=(1,0)$ となる確率は $1/4$。$P=(-1,0)$ となるのは、2回目に $0$ にいて3回目に $-1$ へ移る場合と、2回目に $-2$ にいて3回目に $-1$ へ移る場合である。よって確率は $(1/2)(1/2)+(1/4)=1/2$。

(2) $P=(i,0)$ が領域 $A\cup B$ にある条件は $i\ne0$、$Q=(0,j)$ が同領域にある条件は $j>0$ である。点 $P$ は1回目には必ず非零で、2回目にも非零である確率は $1/2$。2回目に $2$ または $-2$ なら3回目も非零なので、$\Pr(U)=1/2$。点 $Q$ が各回後に正であるには、1回目に $1$、2回目に $2$ となればよく、その確率は $\Pr(V)=1/4$。独立性から $$\displaystyle \Pr(U\cup V)=\Pr(U)+\Pr(V)-\Pr(U)\Pr(V)=\frac12+\frac14-\frac18=\frac58.$$

(3) 距離 $PQ=\sqrt2$ となるのは $|i|=|j|=1$ のときである。1回目は必ずこの距離となり、2回目にはどちらの座標も $0,\pm2$ なのでこの距離にならない。3回目に1個の座標が絶対値1となる確率は、2回目に $0$ または $-2$ にある確率を合わせて $1/2+1/4=3/4$。したがって3回目に両方の絶対値が1となる確率は $(3/4)^2=9/16$。ちょうど1回だけ距離が $\sqrt2$ となる確率は $1-9/16=7/16$。

(4) 2回目の位置により最大距離を分ける。両方が $0$ の確率は $1/4$ で、そのとき最大距離は $\sqrt2$。一方だけが $\pm2$、他方が $0$ の確率は $1/2$。このうち $+2$ 側なら3回目に距離 $\sqrt5$、$-2$ 側なら3回目に距離 $\sqrt2$ となるが、2回目の距離は $2$ なので最大値はそれぞれ $\sqrt5$、$2$ であり、各確率は $1/4$。両方が $\pm2$ の確率は $1/4$ で、その時点で距離 $2\sqrt2$ が最大となる。よって最大距離の期待値は $$\displaystyle \frac14\sqrt2+\frac14\sqrt5+\frac14\cdot2+\frac14\cdot2\sqrt2=\frac{3\sqrt2+\sqrt5+2}{4}.$$