IV日本医科大学 2007年 数学 第IV問解答・解説

日本医科大学 2007年度 数学 Q4

正三角形の外接円半径は1なので $$\displaystyle |\vec u|=|\vec v|=|\vec w|=1,\qquad \vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=\vec w\cdot\vec u =\cos120^\circ=-\frac12.$$ サイコロ1回ごとに、各分類「1または2」「3または4」「5または6」が出る確率はそれぞれ $1/3$ である。

(1) $|\vec x|^2$

$t=ab+bc+ca$ とすると、 $$\displaystyle \begin{aligned} |\vec x|^2 &=\frac1{n^2}|a\vec u+b\vec v+c\vec w|^2\\ &=\frac{a^2+b^2+c^2-t}{n^2}. \end{aligned}$$ $a+b+c=n$ より $a^2+b^2+c^2=n^2-2t$ だから $$\displaystyle \boxed{|\vec x|^2=1-\frac{3t}{n^2}}.$$

(2) $p(a,b,c)$

各回の分類は確率 $1/3$ の3種類である。分類の並び方は $n!/(a!b!c!)$ 通りあり、各並びの確率は $1/3^n$ なので $$\displaystyle \boxed{p(a,b,c)=\frac{n!}{3^n a!b!c!}}.$$

(3) $S_n$

問題文で与えられた確率の総和を使うと $$\displaystyle 1=\sum\limits _{a+b+c=n}p(a,b,c) =\frac{n!}{3^n}\sum\limits _{a+b+c=n}\frac1{a!b!c!} =\frac{n!}{3^n}S_n.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac{3^n}{n!}}.$$

(4) $ab$ の期待値

第 $i$ 回目が第1分類なら1、それ以外なら0となる指示変数を $X_i$、第2分類なら1となる指示変数を $Y_i$ とする。このとき $$\displaystyle a=\sum\limits _{i=1}^nX_i,\qquad b=\sum\limits _{j=1}^nY_j,\qquad ab=\sum\limits _{i=1}^n\sum\limits _{j=1}^nX_iY_j.$$ $i=j$ では同じ回が第1・第2分類を同時にとれないので $X_iY_i=0$。$i\ne j$ では別々のサイコロ投げが独立であり、$E[X_iY_j]=(1/3)(1/3)=1/9$。従って $$\displaystyle \boxed{E[ab]=\frac{n(n-1)}9}.$$

(5) $|\vec x|^2$ の期待値

3分類は対称なので $$\displaystyle E[ab]=E[bc]=E[ca]=\frac{n(n-1)}9, \qquad E[t]=\frac{n(n-1)}3.$$ (1)を用いて $$\displaystyle \boxed{E[|\vec x|^2] =1-\frac3{n^2}E[t] =1-\frac{n-1}{n} =\frac1n}.$$

**使用解法:** 正三角形の中心角と内積、ベクトルの内積展開、分類ごとの多項分布、確率総和、指示変数と独立性による期待値計算。

**issues:** なし。