III日本医科大学 2007年 数学 第III問解答・解説

日本医科大学 2007年度 数学 Q3

$PO=1$、円の半径を $0<r<1$ とする。$\theta=\angle AOP=\angle BOP$ と置くと、直角三角形 $OAP$ より $$\displaystyle \cos\theta=r,\qquad \sin\theta=\sqrt{1-r^2},\qquad 0<\theta<\frac{\pi}{2}.$$ 従って短い方の弧 $AB$ が中心 $O$ で張る角は $2\theta<\pi$、接線の長さは $$PA=PB=\sqrt{1-r^2}.$$ また四角形 $OAPB$ の内角和から $\angle APB=\pi-2\theta$。

領域 $T$ は三角形 $PAB$ から、弦 $AB$ と短い弧 $AB$ の間の円弧部分を除いたものである。その円弧部分は扇形 $AOB$ から三角形 $AOB$ を引いた面積だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} A(r) &=[PAB]-\{[扇形\ AOB]-[AOB]\}\\ &=\frac12(1-r^2)\sin2\theta-r^2\theta +\frac12r^2\sin2\theta\\ &=\sin\theta\cos\theta-r^2\theta\\ &=r\sqrt{1-r^2}-r^2\arccos r. \end{aligned}$$

この面積を微分すると $$A'(r)=\sqrt{1-r^2}-2r\arccos r.$$ $\theta=\arccos r$ と戻せば $$A'(r)=\cos\theta\,(\tan\theta-2\theta).$$ $F(\theta)=\tan\theta-2\theta$ とおくと $$F(0)=0,\qquad F'(\theta)=\sec^2\theta-2.$$ $F'$ は $0<\theta<\pi/4$ で負、$\theta=\pi/4$ で0、$\pi/4<\theta<\pi/2$ で正である。従って $F$ は $0<\theta\le\pi/4$ の範囲で負であり、$\pi/4<\theta<\pi/2$ の範囲では単調増加する。また $$\displaystyle F(\pi/4)=1-\frac{\pi}{2}<0,\qquad \lim\limits _{\theta\to\pi/2-}F(\theta)=+\infty.$$ よって $F(\theta)=0$ は $\pi/4<\theta<\pi/2$ の範囲にただ1つの解 $\theta_0$ をもつ。$r_0=\cos\theta_0$ とすれば、$A'(r)>0$ は $0<r<r_0$ で、$A'(r)<0$ は $r_0<r<1$ で成り立つ。したがって面積を最大にする $r_0$ はただ1つであり、 $$\sqrt{1-r_0^2}=2r_0\arccos r_0$$ を満たす。

周の長さは2本の接線分と短い弧の長さの和なので、 $$\boxed{2\sqrt{1-r_0^2}+2r_0\arccos r_0}.$$ 上の最大条件を使えば、同じ長さを $$\boxed{6r_0\arccos r_0}$$ とも表せる。

**使用解法:** 接線の長さと中心角の幾何、三角形・扇形の面積差、微分と単調性による唯一の最大点の証明。

**issues:** なし。