4岡山大学 2025年 数学 第4問解答・解説

三角形の内角を $A,B,C$ とすると、$B=C=\theta$、$A=\pi-2\theta$ である。図の領域 $Z$ は、各辺の外側に幅 $1$ の長方形を付け、各頂点の外側に半径 $1$ の扇形を付けたものに分けられる。長方形の面積の和は三角形の周の長さであり、扇形の中心角の和は $$(\pi-A)+(\pi-B)+(\pi-C)=2\pi$$ なので、扇形の面積の和は $\pi$。また、底辺 $BC=6\cos\theta$ である。したがって $$S_1=AB+BC+CA+\pi=6+6\cos\theta+\pi.$$

三角形の高さは $3\sin\theta$ だから、面積は $\displaystyle \frac12(6\cos\theta)(3\sin\theta)=9\sin\theta\cos\theta$、半周長は $3(1+\cos\theta)$ である。内接円の半径は面積を半周長で割ったものなので $$\displaystyle r(\theta)=\frac{3\sin\theta\cos\theta}{1+\cos\theta}.$$

$c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$ とおいて微分すると $$\displaystyle r'(\theta)=3\frac{(c^2-s^2)(1+c)+s^2c}{(1+c)^2} =3\frac{c^3+2c^2-1}{(1+c)^2}.$$ $0<\theta\le\pi/4$ では $c>0$ かつ $2c^2-1\ge0$ だから、分子 $c^3+(2c^2-1)$ は正である。よって $r$ は増加し、最大値は $\theta=\pi/4$ で $$\displaystyle r\!\left(\frac\pi4\right)=\frac{3}{2+\sqrt2}=\frac{3(2-\sqrt2)}2.$$ ここで $3/(2+\sqrt2)<1$ なので、区間全体で $0<r(\theta)<1$。したがって $S_2=\pi r(\theta)^2<\pi$ である。一方、$\cos\theta>0$ より $S_1=\pi+6+6\cos\theta>\pi$。ゆえに $S_1>S_2$。