2岡山大学 2025年 数学 第2問解答・解説

採用解説: MM-6eed0125793f-Q2 結論　 $$\displaystyle \begin{aligned}(1)\;&(k,0,0),\ (k,n-k,0),\ (k,0,2(n-k))\\(2)\;&(n-k-1)^2\\(3)\;&\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}\end{aligned}$$　 　 (1) 四面体の辺 $OA,AB,AC$ と平面 $x=k$ との交点を求める。$OA$ 上では $y=z=0$ だから交点は $(k,0,0)$ である。$AB$ 上では $z=0,\ x+y=n$ だから交点は $(k,n-k,0)$ である。また $AC$ 上では $y=0,\ x/n+z/(2n)=1$ だから交点は $(k,0,2(n-k))$ である。したがって、これらが三角形 $T_k$ の頂点である。(2) $m=n-k$ とおくと $m\geq 1$ であり、断面の三角形は $y\geq0,\ z\geq0,\ y/m+z/(2m)\leq1$ で表される。その内部では $y,z>0$ かつ $y/m+z/(2m)<1$ である。整数 $y$ は $1\leq y\leq m-1$ であり、各 $y$ に対して $z<2(m-y)$ を満たす正の整数 $z$ は $1,2,\ldots,2(m-y)-1$ の $2(m-y)-1$ 個である。よって個数は $\displaystyle \sum\limits _{y=1}^{m-1}(2(m-y)-1)=\sum\limits _{r=1}^{m-1}(2r-1)=(m-1)^2=(n-k-1)^2$ 個である。$m=1$ のときも和は空で、個数は $0$ とこの式に一致する。(3) 四面体の内部では $x,y,z>0$ であり、さらに $x/n+y/n+z/(2n)<1$ である。したがって整数 $x$ は $1\leq x\leq n-1$ である。各 $x=k$ における内部の整数点の個数は (2) より $(n-k-1)^2$ 個だから、求める個数は $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}(n-k-1)^2=\sum\limits _{r=0}^{n-2}r^2=\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$ 個である。