II東北医科薬科大学 2019年 数学 第II問解答・解説

(1) 中央の内接正三角形の領域を $\Delta$、円内でその外側にある三つの弓形領域を $S_1,S_2,S_3$、円の外側にある三つの領域を $T_1,T_2,T_3$ とする。各 $S_i$ は $\Delta$ と対応する $T_i$ の両方に隣接する。したがって隣接関係は、中央の $\Delta$ から三本の「$S_i,T_i$」という腕が伸びた形である。許された回転と反転は三本の腕を任意に置換するので、同値類を数えるときは腕の順序を無視できる。

赤・青の二色では、$\Delta$ の色を決めれば、隣接条件により三つの $S_i$ は反対色、三つの $T_i$ は $\Delta$ と同じ色に決まる。$\Delta$ を赤または青にする二通りは異なる塗り分けであり、腕の置換では同一にならない。よって (1) は $2$ 通りである。

(2) 使用する二色の選び方は $\displaystyle \binom{3}{2}=3$ 通りである。選んだ二色それぞれについて、中央領域をどちらの色にするかの二通りがあるから、合計は $3\cdot2=6$ 通りである。

(3) 中央領域を赤と固定する。各腕では、円内領域の色は青または緑であり、円外領域には円内領域と異なる色を塗る。腕の色型は次の四種類である。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{型}&\text{円内領域}&\text{円外領域}\\ \hline 1&\text{青}&\text{赤}\\ 2&\text{青}&\text{緑}\\ 3&\text{緑}&\text{赤}\\ 4&\text{緑}&\text{青} \end{array}$$ 三本の腕は置換して同じと見なすため、四種類から重複を許して三つを選ぶ多重集合が一つの同値類になる。その総数は、三本とも同じ型が $4$ 通り、二本が同じ型で残り一本が別型が $4\cdot3=12$ 通り、三本が全て異なる型が $\displaystyle \binom{4}{3}=4$ 通りなので、合計 $20$ 通りである。このうち緑を使わないものは型1だけを三本選ぶ一通り、青を使わないものは型3だけを三本選ぶ一通りである。したがって、赤・青・緑を全て使う同値類は、中央を赤とした場合 $20-1-1=18$ 通りである。中央の色は赤・青・緑の三通りから選べるので、求める総数は $18\cdot3=54$ 通りである。

(4) 外接正三角形の内接円の半径が $1$ である。正三角形の内接円半径は辺長の $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}{6}$ 倍なので、その辺長は $2\sqrt3$、面積は $3\sqrt3$ である。内接正三角形は半径 $1$ の円に内接し、各辺が中心に対して張る角は $120^\circ$ だから、その面積は $$\displaystyle U=\frac{3\sqrt3}{4}.$$ 円内の弓形一つの面積は、中心角 $120^\circ$ の扇形から二辺が $1$、その間の角が $120^\circ$ の三角形を引いて $$\displaystyle S=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}$$ となる。三つの円外領域は等面積であり、その合計は外接正三角形から円を除いた面積 $3\sqrt3-\pi$ なので、一つの面積は $$\displaystyle T=\sqrt3-\frac{\pi}{3}$$ である。領域面積の検算として、七領域の面積の和は $$\displaystyle U+3S+3T=\frac{3\sqrt3}{4}+\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{4}\right)+(3\sqrt3-\pi)=3\sqrt3$$ となり、外接正三角形の面積と一致する。

中央領域を赤にすると三つの円内領域は赤にできないが、三つの円外領域は全て赤にできる。したがって赤の面積は最大で $$\displaystyle U+3T=\frac{15\sqrt3-4\pi}{4}$$ となる。一方、中央領域が赤でないときは、各腕で円内領域と円外領域を同時に赤にはできないから、各腕から得られる赤の面積は $S$ または $T$ 以下なので、三本の腕全体では $\displaystyle 3\max(S,T)=\max(3S,3T)$ 以下である。候補値との差は $$\displaystyle (U+3T)-3T=U>0,\qquad (U+3T)-3S=\frac{9\sqrt3-4\pi}{2}>0.$$ 後者は、半径 $1$ の円を外接する正六角形の面積が $2\sqrt3$ であることから $\pi<2\sqrt3$ と分かり、$9\sqrt3-4\pi>\sqrt3>0$ による。よって最大には中央領域が赤で、三つの円外領域が全て赤でなければならない。このとき円内の三領域は青または緑であり、両方を使う必要がある。腕の置換を同一視すると、円内領域の色の組合せは「青二つ・緑一つ」または「青一つ・緑二つ」の二種類である。したがって最大となる塗り分け方は $2$ 通りである。