I東北医科薬科大学 2019年 数学 第I問解答・解説

(1) 辺を表すベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(-3,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1,-2,-1)$$ であるから、 $$|\overrightarrow{AB}|^2=10,\qquad |\overrightarrow{AC}|^2=6,\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2$$ となる。$\overrightarrow{AC}$ の $\overrightarrow{AB}$ 方向への正射影の長さは $\displaystyle \dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ である。三平方の定理から高さを求めると、三角形 $ABC$ の面積は $$\displaystyle \frac12\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2} =\frac12\sqrt{10\cdot6-2^2} =\sqrt{14}.$$

(2) $D$ は直線 $OC$ 上にあり、その $x$ 座標が $t$ なので、$D=(t,-t,0)$ と表せる。また、$B-A=(-3,0,1)$ より、直線 $AB$ 上の点 $E$ は実数 $s$ を用いて $$E=A+s(B-A)=(2-3s,1,1+s)$$ と表せる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} DE^2&=(2-3s-t)^2+(1+t)^2+(1+s)^2\\ &=10\left(s-\frac{5-3t}{10}\right)^2+\frac{11t^2+10t+35}{10}. \end{aligned}$$ 平方の項は $\displaystyle s=\dfrac{5-3t}{10}$ のとき、かつそのときに限り $0$ になる。この値は任意の実数 $t$ に対して実数なので、$DE^2$ の最小値は $$\displaystyle f(t)=\frac{11t^2+10t+35}{10}$$ である。さらに平方完成すると $$\displaystyle f(t)=\frac{11}{10}\left(t+\frac{5}{11}\right)^2+\frac{36}{11}.$$ $\displaystyle \dfrac{11}{10}>0$ より、$f(t)$ は $\displaystyle t=-\dfrac{5}{11}$ のとき最小値 $\displaystyle \dfrac{36}{11}$ をとる。検算として代入すると、$\displaystyle f(-\dfrac{5}{11})=\dfrac{36}{11}$ となり、平方完成で得た最小値と一致する。