2札幌医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $\overrightarrow{OA}=(1,2,1)$, $\overrightarrow{OB}=(2,-1,-3)$ とおく。 $$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{6},\quad |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{14},\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2-2-3=-3.$$ $\angle AOB=\theta$ とすると、$\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{84}}$ である。したがって $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\frac{75}{84}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}.$$ よって、三角形 $OAB$ の面積は $$\displaystyle \frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta=\frac12\sqrt{84}\cdot\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{3}}2.$$

(2)　 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\ \overrightarrow{OB}=\boldsymbol b,\ \overrightarrow{OC}=\boldsymbol c$ とし、$E=s\boldsymbol a,\ F=t\boldsymbol b$ とおく。$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c=4,\ \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=-2$ だから、$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{OC}$ より $$(t\boldsymbol b-s\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol c=-2t-4s=0,\quad t=-2s.$$ $E\ne F$ なので $s\ne0$ である。したがって $$\overrightarrow{EF}=t\boldsymbol b-s\boldsymbol a=-s(\boldsymbol a+2\boldsymbol b)=-5s(1,0,-1).$$ ゆえに、$L_3$ の方向ベクトルとして $\boldsymbol v=(1,0,-1)$ をとれる。

(i)　 $D(3,2,-1)$ を通るので、$L_3$ 上の点を $$Q(u)=(3,2,-1)+u(1,0,-1)=(3+u,2,-1-u)$$ と表せる。$xy$ 平面では $z=0$ だから $-1-u=0$ より $u=-1$ であり、交点は $(2,2,0)$ である。

(ii)　 点 $B$ との距離の二乗は $$\displaystyle |Q(u)-B|^2=(1+u)^2+3^2+(2-u)^2=2u^2-2u+14=2\left(u-\frac12\right)^2+\frac{27}{2}.$$ これは $\displaystyle u=\frac12$ のとき最小となる。実際、このとき $\displaystyle Q=(\frac72,2,-\frac32)$ で、$\displaystyle |Q-B|^2=\frac{27}{2}$ である。よって求める最小距離は $$\displaystyle \sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}2.$$