3札幌医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

赤玉の出る確率を $\displaystyle p=\frac{3}{10}$、白玉の出る確率を $\displaystyle q=\frac{7}{10}$ とする。各試行は独立である。

(1) $n$ 回目に3度目の赤玉が出るためには、$n$ 回目が赤玉であり、最初の $n-1$ 回に赤玉がちょうど2回出ればよい。最初の $n-1$ 回のうち赤玉の出る2回を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{n-1}{2}$ 通りであり、各並びには赤玉が合計3個、白玉が $n-3$ 個含まれる。したがって求める確率は $\displaystyle \binom{n-1}{2}p^3q^{n-3}=\binom{n-1}{2}\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}$ である。

(2) 赤玉がちょうど3回出て、隣り合う回に出ない位置を $1\le i_1<i_2<i_3\le n$ とする。この条件は $i_2\ge i_1+2$、$i_3\ge i_2+2$ と同値である。$j_1=i_1$、$j_2=i_2-1$、$j_3=i_3-2$ とおくと $1\le j_1<j_2<j_3\le n-2$ となるので、その選び方は $\displaystyle \binom{n-2}{3}$ 通りである。各位置の選び方に対応する並びの確率は $p^3q^{n-3}$ であるから、求める確率は $\displaystyle \binom{n-2}{3}p^3q^{n-3}=\binom{n-2}{3}\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}$ である。

(3) $A$ を「$n$ 回目に3度目の赤玉が出る」、$B$ を「赤玉が2度以上連続することなくちょうど3度出る」とする。$A$ のもとでは最初の $n-1$ 回に赤玉がちょうど2回出るので、その赤玉の位置の選び方は $\displaystyle \binom{n-1}{2}$ 通りであり、これらは同じ確率である。さらに $B$ も成り立つには、$n$ 回目が赤玉なので $n-1$ 回目は白玉でなければならず、最初の $n-2$ 回の中で赤玉が2回、互いに隣り合わずに出る必要がある。赤玉の位置を選ぶ数は $\displaystyle \binom{(n-2)-2+1}{2}=\binom{n-3}{2}$ 通りである。よって $\displaystyle P(B\mid A)=\frac{\binom{n-3}{2}}{\binom{n-1}{2}}=\frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}$ である。

検算として $n=5$ とすると、(1) は最初の4回から赤玉の位置を2つ選ぶ6通り、(2) は赤玉の位置が $1,3,5$ の1通り、(3) は $A$ の6通りのうち赤玉が連続しないものが1通りなので、それぞれの式は $6p^3q^2$、$p^3q^2$、$\displaystyle \frac16$ となり一致する。