4札幌医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) まず、F(x)=x-$\sin$ x とおくと、 $$F(0)=0,\qquad F'(x)=1-\cos x\geq 0$$ である。したがって $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$ で $F(x)\geq 0$、すなわち $\sin x\leq x$ である。等号は $x=0$ のときに成り立つ。

次に $x>0$ とし、$\displaystyle q(x)=\frac{\sin x}{x}$、$G(x)=\sin x-x\cos x$ とおく。$G(0)=0$ であり、 $$G'(x)=x\sin x\geq 0$$ だから $G(x)\geq 0$ である。よって $$\displaystyle q'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=-\frac{G(x)}{x^2}\leq 0.$$ したがって $q$ は $\displaystyle 0<x\leq\frac{\pi}{2}$ で減少するので、 $$\displaystyle \frac{\sin x}{x}\geq q\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi}.$$ $x>0$ を掛ければ $\displaystyle \frac{2}{\pi}x\leq\sin x$ を得る。$x=0$ ではこの不等式は等号で成り立つ。また、左側の等号は $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ でも成り立つ。

(2)(i) (1)より、区間 $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では $D_1$ の上側が $y=\sin x$、下側が $\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_0^{\pi/2}\left(\sin x-\frac{2}{\pi}x\right)\,dx\\ &=\left[-\cos x-\frac{x^2}{\pi}\right]_0^{\pi/2} =1-\frac{\pi}{4}. \end{aligned}$$ また、$\sin x\leq x$ より $D_2$ は $y=x$ と $y=\sin x$ の間の部分なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_2 &=\int_0^{\pi/2}(x-\sin x)\,dx\\ &=\left[\frac{x^2}{2}+\cos x\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-1. \end{aligned}$$ 大小を比べると、 $$\displaystyle S_2-S_1=\frac{\pi^2+2\pi-16}{8}.$$ $\pi>3.14$ であり、$t^2+2t$ は $t>0$ で増加するから、 $$\pi^2+2\pi-16>3.14^2+2\cdot3.14-16=0.1396>0.$$ よって $S_2>S_1$ である。

(2)(ii) $D_1$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、各 $x$ における断面は外半径 $\sin x$、内半径 $\displaystyle \frac{2}{\pi}x$ の円環となる。(1)により両半径は非負で、外半径が内半径以上である。したがって体積 $V$ は $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_0^{\pi/2}\left\{(\sin x)^2-\left(\frac{2}{\pi}x\right)^2\right\}\,dx\\ &=\pi\left\{\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx-\frac{4}{\pi^2}\int_0^{\pi/2}x^2\,dx\right\}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\pi^2}{12}. \end{aligned}$$ 以上。