3兵庫医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 加法定理と二倍角の公式から $$\cos3\alpha=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$$ $$\sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos^2\alpha+(2\cos^2\alpha-1)\sin\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.$$ よって $\boxed{\text{ア}}=-3,\boxed{\text{イ}}=4,\boxed{\text{ウ}}=3,\boxed{\text{エ}}=-4$。　 (2) 円O上の接点BはAから円周上を角 $\theta$ だけ進むので，進んだ弧の長さは $a\theta$ である。すべらないから，円C上で初めに接点にあった点Pから現在の接点Bまでの弧の長さも $a\theta$。よって連続的に測った回転角は $$\displaystyle \frac{a\theta}{b}.$$ したがって転がり角としての $\angle BCP$ は $a\theta/b$ である。通常の $0$ から $\pi$ までの小さい方の角を指す場合は $\arccos\!\left(\cos(a\theta/b)\right)$ となる。　 (3) 円Cの中心は $$C=((a-b)\cos\theta,(a-b)\sin\theta)$$ である。接点への半径CBの向きは角 $\theta$，点Pへの半径CPの向きは，(2)よりCBから時計回りに $a\theta/b$ だけ回った向き，すなわち $-(a-b)\theta/b$ である。したがって $$\displaystyle x=(a-b)\cos\theta+b\cos\left(\frac{a-b}{b}\theta\right),$$ $$\displaystyle y=(a-b)\sin\theta-b\sin\left(\frac{a-b}{b}\theta\right).$$

(4) $a:b=4:1$ より $b=a/4$ である。(3)に代入し，(1)の三倍角公式を用いると $$\displaystyle x=\frac{3a}{4}\cos\theta+\frac a4\cos3\theta=a\cos^3\theta,$$ $$\displaystyle y=\frac{3a}{4}\sin\theta-\frac a4\sin3\theta=a\sin^3\theta.$$ よって $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ から $$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=a^{2/3}.$$ さらに $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-3a\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=3a\sin^2\theta\cos\theta$$ なので速さは $3a|\sin\theta\cos\theta|$。各象限で $\displaystyle \int|\sin\theta\cos\theta|d\theta=1/2$ であるから，0から $2\pi$ までの長さは $3a\cdot4\cdot(1/2)=6a$。　 (5) $a:b=3:1$ より $b=a/3$。したがって $$\displaystyle x=\frac{2a}{3}\cos\theta+\frac a3\cos2\theta,\qquad y=\frac{2a}{3}\sin\theta-\frac a3\sin2\theta.$$ 微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\frac{2a}{3}(\sin\theta+\sin2\theta),\qquad \frac{dy}{d\theta}=\frac{2a}{3}(\cos\theta-\cos2\theta),$$ ゆえに $$\displaystyle \sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=\frac{4a}{3}\left|\sin\frac{3\theta}{2}\right|.$$ ここで $u=3\theta/2$ とおくと $\displaystyle \int_0^{2\pi}|\sin(3\theta/2)|d\theta=(2/3)\int_0^{3\pi}|\sin u|du=4$。したがって曲線の長さは $16a/3$。　 曲線は $0\le\theta\le2\pi$ で反時計回りに1周する。面積は水平細片の面積を境界に沿って加える式 $\displaystyle S=\int x\,dy$ で求められる。閉曲線なので $\displaystyle \int d(xy)=0$，したがって同じ値を $\displaystyle S=\frac12\int_0^{2\pi}(x(dy/d\theta)-y(dx/d\theta))d\theta$ と書ける。代入して整理すると $$\displaystyle x(dy/d\theta)-y(dx/d\theta)=\frac{2a^2}{9}(1-\cos3\theta).$$ よって $$\displaystyle S=\frac{a^2}{9}\int_0^{2\pi}(1-\cos3\theta)d\theta=\frac{2\pi a^2}{9}.$$