4名古屋市立大学 2023年 数学 第4問解答・解説

半円との接点を$T=(\cos\theta,\sin\theta)$とする。初めの点$B=(\sqrt2,0)$から円への接線の長さは、$OB=\sqrt2$、$OT=1$より$BT=1$である。また$\triangle OTB$は$T$で直角をなし、二辺$OT,BT$が等しいから$\angle BOT=\pi/4$、したがって初めの接点の偏角は$\theta=\pi/4$である。固定端$A=(-1,0)$から$T$まで半円に沿う長さは$3\pi/4$なので、糸全体の長さを$L$とすると$$\displaystyle L=\frac{3\pi}{4}+1.$$

糸がほどけている間、接点の偏角$\theta$は$\pi/4$から$\pi$まで増える。残っている弧の長さは$\pi-\theta$であるから、接点から$P$までの直線部分の長さは$$\displaystyle s=L-(\pi-\theta)=1+\theta-\frac{\pi}{4}.$$ 接線の向きは初期位置に合わせて$(\sin\theta,-\cos\theta)$であるから、$$P=(x,y)=(\cos\theta+s\sin\theta,\;\sin\theta-s\cos\theta).$$ よって$$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=s\cos\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=s\sin\theta,$$となり、$\theta$を$\pi/4$から$\pi$まで動く間の速さは$\sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=s$である。この部分の長さは$$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi}\left(1+\theta-\frac{\pi}{4}\right)d\theta=\frac12\left[\left(1+\theta-\frac{\pi}{4}\right)^2\right]_{\pi/4}^{\pi}=\frac{L^2-1}{2}.$$

$\theta=\pi$で糸は半円からほどけ切り、$P=(-1,L)$となる。その後は$AP=L$を保つため、$P$は中心$A$、半径$L$の円上を動く。ほどけ切った瞬間の接線方向は左向きなので、反時計回りに進んで次に$x$軸と交わる点は円の中心角が$\pi/2$だけ進んだ位置である。この円弧の長さは$\pi L/2$。したがって求める長さは$$\displaystyle \frac{L^2-1}{2}+\frac{\pi L}{2}=\frac{5\pi}{4}+\frac{21\pi^2}{32},\qquad L=1+\frac{3\pi}{4}.$$