2神戸大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1)　 OA=OB=1 であり，$\angle$ AOB=2$\theta$ だから，二等辺三角形の底角はそれぞれ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$-$\theta$ である。また，$\theta$>0 より AB=2$\sin$$\theta$ である。三角形の面積を S，内接円の半径を r とすると，$$\displaystyle S=\frac12\sin 2\theta=\sin\theta\cos\theta,\qquad S=r\frac{OA+AB+BO}{2}=r(1+\sin\theta)$$ より，$$\displaystyle r=\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta}.$$ 内心 P は頂点 O の角の二等分線上にあり，その角は 2$\theta$ なので，OP と OA のなす角は $\theta$ である。したがって $r=OP\sin\theta$ から $\displaystyle OP=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}$ を得る。よって，$$\displaystyle P=\left(OP\cos\theta,OP\sin\theta\right) =\left(\frac{\cos^2\theta}{1+\sin\theta},\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta}\right) =\left(1-\sin\theta,\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta}\right).$$

(2)　 x=1-$\sin$$\theta$ とおくと，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より $0<x<1$，$\sin\theta=1-x$，$\cos\theta=\sqrt{x(2-x)}$ である。(1)の座標から，曲線は $$\displaystyle y=(1-x)\sqrt{\frac{x}{2-x}}\qquad(0<x<1)$$ と表される。端点は $(1,0)$，$(0,0)$ に近づくので，D を x 軸のまわりに回転した立体の体積は円板の断面積を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1 y^2\,dx =\pi\int_0^1\frac{x(1-x)^2}{2-x}\,dx\\ &=\pi\int_0^1\left(-x^2-1+\frac{2}{2-x}\right)dx\\ &=\pi\left[-\frac{x^3}{3}-x-2\log(2-x)\right]_0^1 =\pi\left(2\log 2-\frac43\right). \end{aligned}$$