5神戸大学 2020年 数学 第5問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1) 数学B「数列・漸化式」：与えられた漸化式を順に用い、同じ項に戻ることを確かめる。テーマは絶対値を含む漸化式と周期。

(2) 数学B「数列・漸化式」、数学I「指数」：項の一般形を帰納的に示し、各段階で絶対値の中の符号を確認する。テーマは指数式で表される漸化式と周期性。

(1) $p=3$ のとき $\displaystyle x_1=\frac{1}{2^3+1}=\frac19$ である。漸化式を順に使うと $$\displaystyle x_2=\left|\frac29-1\right|=\frac79,\qquad x_3=\left|\frac{14}{9}-1\right|=\frac59,\qquad x_4=\left|\frac{10}{9}-1\right|=\frac19=x_1.$$ 同じ漸化式で同じ値からは同じ次の値が定まるので、以後もこの3項が繰り返される。したがって $$\displaystyle x_n= \begin{cases} \frac19 &(n\equiv1\pmod 3),\\ \frac79 &(n\equiv2\pmod 3),\\ \frac59 &(n\equiv0\pmod 3). \end{cases}$$

(2) $D=2^p+1$ とおく。まず $$\displaystyle x_2=\left|\frac2D-1\right|=\frac{2^p-1}{D} =\frac{2^p-2^{2-1}+1}{D}.$$ $2\le k\le p+1$ に対して $$\displaystyle x_k=\frac{2^p-2^{k-1}+1}{D}$$ となることを示す。$k=2$ では上の計算から成り立つ。$2\le k\le p$ でこの式が成り立つとすると $$\displaystyle 2x_k-1 =\frac{2(2^p-2^{k-1}+1)-(2^p+1)}{D} =\frac{2^p-2^k+1}{D}>0,$$ ここで $k\le p$ だから $2^p-2^k+1\ge1$ である。従って $|2x_k-1|=2x_k-1$ であり、 $$\displaystyle x_{k+1}=\frac{2^p-2^k+1}{D} =\frac{2^p-2^{(k+1)-1}+1}{D}.$$ よって帰納法により、主張の式は $k=p+1$ まで成り立つ。そこで $$\displaystyle x_{p+1}=\frac{2^p-2^p+1}{D} =\frac1{2^p+1}=x_1.$$ 以上で示された。