2奈良県立医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

まず $n=0$ を与えると $$1=a_0+b_0\sqrt5$$ であるから、$a_0=1$、$b_0=0$ である。また $$(3+\sqrt5)^{n+1}=(3+\sqrt5)(a_n+b_n\sqrt5) =(3a_n+5b_n)+(a_n+3b_n)\sqrt5$$ より、整数部分と $\sqrt5$ の係数を比べて $$a_{n+1}=3a_n+5b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+3b_n.$$ したがって $\text{ウ}=3$、$\text{エ}=5$、$\text{オ}=3$ である。

二項展開では偶数次の $\sqrt5$ の項が整数部分、奇数次の項が $\sqrt5$ を因数にもつ部分となる。よって $\sqrt5$ を $-\sqrt5$ に置き換えると $$(3-\sqrt5)^n=a_n-b_n\sqrt5$$ となり、$\text{カ}=\sqrt5$ である。この式を $(3+\sqrt5)^n=a_n+b_n\sqrt5$ と加え、また引くと $$\displaystyle a_n=\frac{(3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n}{2},\qquad b_n=\frac{(3+\sqrt5)^n-(3-\sqrt5)^n}{2\sqrt5}.$$

$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数なので、$[x]\le x<[x]+1$ である。従って $0\le x-[x]<1$。また $0\le t<1$ なら $[t]=0$ であり、$\langle t\rangle=t$ となる。よって $\langle x\rangle$ の範囲は $0\le\langle x\rangle<1$ であり、これを解答欄ケに入れる。

$2<\sqrt5<3$ は両辺を正の数として二乗すれば確かめられるので、$0<3-\sqrt5<1$ である。$\beta_n=(3-\sqrt5)^n$ とおくと、$n\ge1$ で $0<\beta_n<1$、かつ等比数列の極限より $\beta_n\to0$ である。共役の式を用いて $$(3+\sqrt5)^n=2a_n-\beta_n$$ と書ける。$a_n$ は整数だから、$0<\beta_n<1$ より $[(3+\sqrt5)^n]=2a_n-1$ であり、 $$\left\langle(3+\sqrt5)^n\right\rangle =(2a_n-\beta_n)-(2a_n-1)=1-\beta_n.$$ 従って $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\left\langle(3+\sqrt5)^n\right\rangle=1,$$ すなわち $\text{コ}=1$ である。