5奈良県立医科大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) $t\ge0$ におけるAの移動距離は速度を積分して $$\displaystyle x_A(t)=\int_0^t c_Ae^{-ks}\,ds=\frac{c_A}{k}(1-e^{-kt}),\qquad L_A=\frac{c_A}{k}.$$ Bは時刻 $T$ にRから出発するので、$t\ge T$ におけるRからの移動距離は $$\displaystyle x_B(t)=\int_T^t c_Be^{-k(s-T)}\,ds=\frac{c_B}{k}(1-e^{-k(t-T)}),\qquad L_B=\frac{c_B}{k}.$$

(2) $r=PR=x_A(T)$ とおく。AがRに着く時刻は $$\displaystyle T=-\frac1k\log\left(1-\frac r{L_A}\right).$$ Bが距離 $L-r$ を進む所要時間は $$\displaystyle \tau=-\frac1k\log\left(1-\frac{L-r}{L_B}\right).$$ 従って $t_0(r)=T+\tau$。実現可能範囲は $L-L_B<r<L_A$ であり、 $$\displaystyle t_0'(r)=\frac1{k(L_A-r)}-\frac1{k(L_B-L+r)}.$$ 停留条件から $L_A-r=L_B-L+r$、従って $$\displaystyle PR=r=\frac{L+L_A-L_B}{2}.$$ さらに $$\displaystyle t_0''(r)=\frac1{k(L_A-r)^2}+\frac1{k(L_B-L+r)^2}>0,$$ ゆえにこれは唯一の最小値を与える。

速度を時間で積分すると、それぞれの移動距離と到達可能な上限が得られます。Rの位置をr=PRとすると、AがRへ着く時間とBがRからQまで進む時間は対数式で表せます。到達可能範囲でその合計を微分し、二階導関数が正であることを確かめると、唯一の最小点が出ます。